2.1.18. Сформулируйте и докажите теорему Больцано-Вейерштрасса.

2.1.19. Сформулируйте и докажите теорему о связи существования предела последовательности с равенством верхнего и нижнего пределов этой последовательности.

2.1.20. Сформулируйте критерий Коши для последовательностей.

2.2. Функции

2.2.1. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы двух функций.

Сумма и разность двух бесконечно малых в точке a функций являются бесконечно малыми в точке а функциями.

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке x = a.

Тогда  > 0  > 0, > 0  x  {0 < | x - a | < ₁}: | f(x) | < ,

 x  {0 < | x - a | < }: | g(x) | < . Положим  = min ( , ).

Тогда  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)  g(x) | | | + | | < .

Это и означает по определению, что f(x)  g(x) - бесконечно малые в точке x = a.

Теорема доказана.

2.2.2. Сформулируйте и докажите теорему о пределе разности двух функций.

Сумма и разность двух бесконечно малых в точке a функций являются бесконечно малыми в точке а функциями.

Доказательство:

Пусть f(x) и g(x)- бесконечно малые в точке x = a.

Тогда  > 0  > 0, > 0  x  {0 < | x - a | < ₁}: | f(x) | < ,

 x  {0 < | x - a | < }: | g(x) | < . Положим  = min ( , ).

Тогда  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)  g(x) | | | + | | < .

Это и означает по определению, что f(x)  g(x) - бесконечно малые в точке x = a.

Теорема доказана.

2.2.3. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения двух функций.

Произведение ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.

Доказательство: Пусть f(x) - ограниченная функция, то есть  А > 0,  x {область определения f(x)}: | f(x) | < A, и пусть g(x) - бесконечно малая в точке a.

Тогда   > 0   > 0:  x  {0 < | x - a | <  }: | g(x) | < .

Следовательно,  x  {0 < | x - a | <  }: | f(x)g(x) | =  < . Это и означает по определению, что f(x) g(x)- бесконечно малая в точке а функция.

Теорема доказана.

2.2.4. Сформулируйте и докажите теорему о пределе отношения двух функций.

Частное ограниченной функции и функции, бесконечно малой в точке a, является бесконечно малой в точке a функцией.

Доказательство основано на произведении:

2.2.5. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы двух функций.

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

2.2.6. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности разности двух функций.

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

2.2.7. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности произведения двух функций.

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

2.2.8. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности отношения двух функций.

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x)  g(x), f(x)g(x) и (при условии g(а)  0) непрерывны в точке а.

Доказательство:

По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а)  [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного.

Теорема доказана.

2.2.9. Сформулируйте теорему об обратной функции. Примеры.

Теорема об обратной функции. Пусть функция у = f(x) определена на множестве Х, и пусть Y - множество её значений. Пусть каждое своё значение функция принимает только в одной точке. В таком случае говорят, что функция у = f(x) осуществляет взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. Поставим в соответствие каждому у  Y то число х  Х, для которого f(x) = у. Тем самым на множестве Y будет определена функция . Она называется обратной по отношению к функции у = f(x) и обозначается х = (у). Отметим, что обратной для функции х = (у) является функция y = f(x), поэтому функции y = f(x) и х = (x) называются взаимно обратными.

Примеры.

1) y = , X = [0, +),

x = , Y = [0, +).

2) y = , X = (-, ).

Эта функция обратной не имеет.