4. Обработка результатов измерений

Формы представления результатов измерений изложены в методических указаниях МИ 1317-86.

Результат измерений представляется именованным или неименованным числом.

Пример. 100 кВт; 20 °С — именованные числа; 0,44; 2,765 — неименованные числа.

Совместно с результатом измерений должны быть пред­ставлены характеристики его погрешности или их статистические оценки. Если результат измерений или определенная группа ре­зультатов измерений получены по аттестованной методике выпол­нения измерений, то их можно сопровождать, вместо характери­стик погрешности измерений, ссылкой на документ (аттестат), удостоверяющий характеристики погрешностей, получаемых при использовании данной методики, и условия применимости этой методики.

Если результат измерений получен по такой методике, когда характеристики погрешности измерений оценивались в про­цессе самих измерений или непосредственно перед ними, он (ре­зультат) должен сопровождаться статистическими оценками ха­рактеристик погрешности измерений.

Допускается представление результата измерений дове­рительным интервалом, покрывающим с известной (указываемой) доверительной вероятностью, истинное значение измеряемой вели­чины. В этом случае статистические оценки характеристик по­грешности измерений отдельно не указываются.

Примечание. Такая форма представления результатов измерений до­пускается в случаях, когда характеристики погрешности измерений заранее не установлены и погрешность измерений оценивается в процессе самих измерений или непосредственно перед ними.

Совместно с результатом измерений, при необходимости, приводятся дополнительные данные и условия измерений.

Представление результатов измерений изменяющейся во времени измеряемой величины, при необходимости, сопровожда­ется указаниями моментов времени, соответствующих каждому из представленных результатов измерений. При этом началом шкалы времени может служить любой момент времени, принятый для данного эксперимента в качестве начального.

Представление результатов измерений, полученных как среднее арифметическое значение результатов многократных на­блюдений, должно сопровождаться указанием числа наблюдений и интервала времени, в течение которого они проведены. Если из­мерения, при которых получены данные результаты, проводятся по методике выполнения измерений, установленной в каком-либо документе, вместо указания числа наблюдений и интервала, до­пускается давать ссылку на этот документ.

При необходимости, для правильной интерпретации ре­зультатов и погрешности измерений указываются, для данной методики выполнения измерений, физическая модель объекта из­мерений и ее параметры, принятые в качестве измеряемых вели­чин. Если измеряемая величина выражается функционалом, по­следний также указывается.

При необходимости, результат измерений и характерис­тики погрешности измерений сопровождаются указанием соответ­ствия (или несоответствия) характеристик погрешности нормам точности измерений, если они заданы.

Примеры:

Пример 1. Запись в протоколе результата измерения расхода жид­кости, полученного по аттестованной методике выполнения изме­рений

а) результат измерения 10,75 м³/с; |Δ _l | = |Δ _h | =0,15 м³/с; P=0,95. Условия измерений: температура жидкости 20 °С, кине­матическая вязкость 1,5∙10^-6 м²/с;

Примечание. Δ _l и Δ _h - нижняя и верхняя границы погрешностей измерения.

б) результат измерения 10,75 м³/с. Характеристики погреш­ности и условия измерений — по Аттестату методики выполнения измерений № 17 от 05.07.85 г.

Пример 2. Запись в протоколе результата измерения расхода жидкости, полученного по неаттестованной методике. Статистические оценки характеристик погрешности измерений определялись в процессе измерений

a) значение измеряемого расхода находится в интервале от 10,60 до 10,90 м³/с с доверительной вероятностью 0,95. Условия измерений: температура жидкости 20 °С, кинематическая вяз­кость 1,5∙10^-6 м²/с.

Пример 3. Запись в протоколе результатов измерений изменяющегося электрического напряжения u(t), -полученных по аттестованной методике

u(t), В 7,55 3,15 —0,35 —0,50 —4.70 —1,57

t, с О 1 2 3 4 5

Характеристики погрешности и условия измерений — по Ат­тестату методики выполнения измерений № 5 от 17.01.86.

Пример 4. Запись в протоколе результата измерения, полученного как среднее арифметическое результатов наблюдений температуры по аттестованной методике.

Результат измерения 263,7 °С. Число наблюдений — 50, в те­чение 3 мин. Характеристики погрешности и условия измерений — по Аттестату методики выполнения измерений № 13 от 23.01.86

Пример 5. упрощенная запись результатов измерений:

Однократное измерение L= ( 10, 375 ± 0,005) м; Р = 0,95.

U= ( 10, 375 ± 0,025) В.

Примечание. Во втором результате доверительная вероятность не указывается, т.к. погрешность была определена по классу точности СИ и она является предельно допустимой погрешностью.

Многократное измерение L= ( 10, 375 ± 0,005) м; Р = 0,95; n = 10.

Рассчитывая значения погрешности по формулам, особенно при пользовании электронным калькулятором, значения по­грешностей получают с большим числом знаков. Однако исходными данными для расчета являются нормируемые значения погрешности СИ, которые указываются всего с одной или двумя значащими циф­рами. Вследствие этого и в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены только, первые одна-две знача­щие цифры. При этом приходится учитывать следующее обстоятель­ство. Если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасы­вание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 30—50%), что недопустимо. Если же полученное число начинается, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т. е. указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исход­ные данные не обеспечивают такой точности.

Исходя из этого на практике установилось следующее правило: если полученное число начинается с цифры, равной или большей, чем 3, то в нем сохраняется лишь один знак; если же оно начи­нается с цифр, меньших 3, т. е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют два знака. В соответствии с этим правилом установлены и норми­руемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5 % указываются два знака, но в числах 0,5; 4; 6 % указывается лишь один знак.

В итоге можно сформулировать следующие три правила округле­ния рассчитанного значения погрешности и полученного эксперимен­тального результата измерения.

1 Погрешность результата измерения указывается двумя знача­щими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной — если первая есть 3 и более.

2. Результат измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

Пример. На вольтметре класса 2,5 с пределом измерений U_к = U_ном = 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения U = 267,5 В.

Расчет погрешности удобнее вести в следующем порядке: сперва необходимо найти абсолютную погрешность, а затем — относительную. Абсолютная погрешность Δ U = γ∙ U_к /100 = 2,5∙ 300 /100 = 7,5 В Относительная погрешность δ = (Δ U / U) ∙100 = (7,5/267,5) ∙100 = 2,81 %

Так как первая значащая цифра значения абсолютной погрешности (7,5 В) больше трех, то это значение должно быть округлено о обычным правилам округления до Δ U = 8 В, но в значении относительной погрешности (2,81 %) первая значащая цифра меньше 3, поэтому здесь должны быть сохранены в ответе два десятичных разряда и указано δ = 2,8 % Полученное значение U = 267,5 В должно быть округлено до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности, т. е. до целых единиц вольт.

Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено «Измерение произведено с относительной погрешностью (точностью) δ = 2,8 % Измеренное напряжение U = (268 ± 8) В или U = 268 В ± 8 В».

При этом более наглядно указать также пределы интервала неопределенности измеренной величины в виде 260 В <U < 276 В.

Существуют определенные правила округления.

а) Числовое значение результата измерения должно оканчи­ваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

Пример. 235,732 ± 0,15 округляется до 235,73 ± 0,15, но не до 235,7 ± 0,15.

б) При промежуточных вычислениях целесообразно, чтобы ис­пользуемые числа содержали на одну значащую цифру больше, чем будет в окончательном результате. Это позволяет уменьшить погрешность от округления.

Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше пяти, то остающиеся цифры не меняются.

Пример. 442,749 ± 0,4 округляется до 442,7 ± 0,4.

в) Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. 37,268 ± 0,5 округляется до 37,3 ± 0,5; 37,253 ± 0,5 округляется до 37,3 ±0,5.

г) Если первая отбрасываемая или заменяемая цифра равна 5 и за ней не следует отличных от нуля цифр или идут нули, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу, если она нечетная, и оставляют без изменения, если она четная или нуль.

Пример. 3,7025 ± 0,005 округляется до 3,702 ± 0,005; 3,7035 ± 0,005 округляется до 3,704 ± 0,005

д) Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление может привести к ошибкам.

Пример. Поэтапное округление результата измерения 220,46 ± ± 4 дает на первом этапе 220,5 ± 4 и на втором 221 ± 4, в то время как правильный результат округления 220 ± 4.

Значащими цифрами числа считаются все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной справа цифры, при этом нули, записанные в виде множителя 10ⁿ, не учитываются. Поэтому записи 2,4∙ 10² В и 2400 В не являются тожде­ственными. Первая запись означает, что верны цифры тысяч и сотен вольт и истинное значение может быть, например, 2,42 или 2,38 кВ. Запись 2400 В означает, что верны и единицы вольт, истинное значение может быть 2400,2 или 2390,8 В, но не 2420 или 2380 В.

Пример. В результате измерения получено напряжение 3720 В, при этом погрешность измерения составляет 1 %, результат изме­рения следует записать (если погрешность не указывается) 37∙10² В, или 3,7∙10³ В, или 3,7 кВ.

Обработка результатов прямых однократных измерений

Порядок и методика выполнения прямых однократных измерений при условии, что составляющие погрешности ре­зультата известны, случайные погрешности составляющих распределены нормально, а неисключенные систематичес­кие погрешности, представленные заданными границами ±θ_i распределены равномерно, регламентированы МИ 1552—86. Под границами неисключенной систематической погрешности измерений понимают границы интервала, найденные неста­тистическими методами, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность измерения. Погрешность измерения задается границами в том случае, когда сведения о вероятности нахождения ее в этих границах отсутствуют.

За результат однократного измерения Х принимают значение величины, полученное при отдельном измерении.

Составляющие погрешности результата измерения долж­ны быть известны до проведения измерений, предполагая, что известные систематические погрешности исключены.

Условия проведения однократных измерений заключаются в следующем:

• производственная необходимость (разрушение образца, невозможность повторить измерения, экономическая целе­сообразность и т. д.);

• возможность пренебрежения случайными погрешностями.

До начала измерений проводят априорную оценку погрешности результата измерения, используя предварительные дан­ные об измеряемой величине, условиях измерения и источ­никах погрешностей измерения (составляющих погрешности измерения). Если априорная оценка превышает допускаемую погрешность результата измерений, то выбирают более точное средство измерений или изменяют методику выполнения измерений.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения принимают вероятность, равную 0,95.

В особых случаях, например, при измерениях, которые нельзя повторить, допускается указывать доверительные границы для более высоких вероятностей.

При вычислениях следует пользоваться правилами округления. Погрешность результата измерения должна быть представлена не более чем двумя значащими цифрами.

Составляющими погрешности результата однократного из­мерения являются погрешности: средств измерений; метода; оператора.

Погрешности средств измерений, метода и оператора могут состоять из неисключенных систематических и случайных погрешностей.

Неисключенные систематические погрешности могут быть выражены одним из способов:

• границами ±θ_i;

• доверительными границами ±θ(Р).

Случайные погрешности могут быть выражены одним из способов:

• средним квадратическим отклонением S;

• доверительными границами ±ε(Р).

Погрешность средств измерений определяют по метрологи­ческим характеристикам, которые указаны в нормативных технических документах (НТД) и в соот­ветствии с РД 50—453—84.

Погрешности метода и оператора должны быть определе­ны в НТД на конкретную методику выполнения измерений (МВИ).

Если неисключенная систематическая погрешность имеет место только у одной из составляющих (погрешности или средства измерений, или метода, или оператора), то неисклю­ченную систематическую погрешность результата выражают границами этой погрешности.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют следующим образом.

При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами ±θ_i, доверительную границу неисключенной систематической погрешности резуль­тата измерения ±θ(Р)) вычисляют по формуле:

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих θ_i.

При доверительной вероятности Р = 0,90 поправочный коэффициент k принимают равным 0,95; при доверитель­ной вероятности Р = 0,95 коэффициент k = 1,1.

Если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей т > 4, то при доверительной вероятности Р = = 0,99 коэффициент k = 1,4. Если же m< 4, то k определяют по графику (рис. 4) зависимости k = f (т, l), где m —число суммируемых погрешностей, а l = θ₁ / θ₂; m = 2 (кривая 1); m = 3 (кривая 2); m = 4 (кривая 3).

Зависимости k = f (т, l)

В качестве θ₁ принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от остальных, а в качестве θ₂ — ближайшую к θ₁ .

Погрешность, возникающая при использовании форму­лы для суммирования неисключенных систематичес­ких погрешностей и при нахождении поправочного коэффициента k для доверительной вероятности Р = 0,99 по графи­ку k = f (т, l) (см. рис. 4) не превышает 5 %.

Примечание: результат вычисления границ суммарной неисключенной систематической погрешности при доверительной вероятности Р по выражению следует сравнить с алгебраической суммой этих погрешностей

(без учета их знаков) , и если эта сумма окажется меньше , то за границы суммарной неисключенной систематической погрешности нужно принять эту алгебраическую сумму.

Доверительные границы случайной погрешности резуль­тата измерения вычисляют следующим образом.

Если случайные погрешности средств измерений (метода, оператора) представлены средними квадратическими откло­нениями S_i,, приведенными в технической документации, то среднее квадратическое отклонение результата однократного измерения S_X вычисляют по формуле:

,

где m — число составляющих.

Доверительную границу случайной погрешности резуль­тата измерения ε(Р) вычисляют по формуле:

,

где Z_P/2 — P/2-точка нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности Р. Если доверительная вероятность Р = 0,95, тo Z_0,95/2 = 2, если Р = 0,99, To Z_0,99/2= 2,6.

Если случайные погрешности средств измерений (метода, оператора) представлены доверительными границами ε(Р), соответствующими одной и той же вероятности, то довери­тельную границу случайной погрешности результата одно­кратного измерения вычисляют по формуле:

.

Если случайные погрешности средств измерений (мето­да, оператора) определяют предварительно экспериментально при ограниченном числе измерений (m < 30), то доверитель­ную границу этой случайной составляющей вычисляют по формуле

,

где t — коэффициент, зависящий от доверительной вероят­ности Р и числа измерений m. В качестве коэффициента t можно использовать коэффициент Стьюдента, соответствующий чис­лу степеней свободы той составляющей, оценка которой произведена при наименьшем числе измерений; S_i,- — оценка среднего квадратического отклонения i-й составляющей (погрешности средств измерений, метода, оператора).

Если погрешности метода и оператора пренебрежимо ма­лы по сравнению с погрешностью используемых средств измерений (не превышают 15 % от погрешности средств измерений), то за погрешность результата измерений прини­мают погрешность используемых средств измерений.

Если , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают в качестве пог­решности результата измерения доверительные границы слу­чайных погрешностей ΔХ = ± ε(Р).

Если , то случайными погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погреш­ностей ΔХ = ±θ(Р).

Если , то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле

.

Значения коэффициента K_P для доверительной вероятности 0,95 и 0,99 в зависимости от отношения представлены в табл. 4.

Т а б л и ц а 4

Значения коэффициента K_P для доверительной вероятности 0,95 и 0,99

	0,8	1	2	3	4	5	6	7	8
KP=0,95	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
KP=0,99	0,84	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Следует отметить, что применение этих формул для вы­числения погрешности результата ΔХ сопровождается пог­решностью, не превышающей 15 %. Вместе с тем допускает­ся применение других методов суммирования случайных и неисключенных систематических составляющих погрешностей результата измерения.

Форма представления результатов однократных измере­ний должна соответствовать МИ 1317—86.

При симметричной доверительной погрешности резуль­тат однократного измерения представляется в форме

Х ± ΔХ ; Р = …. .

Числовое значение результата измерения должно оканчи­ваться цифрами того же разряда, что и значение погрешнос­ти ΔХ.

Обработка результатов измерений с многократными независимыми наблюдениями и оценки их погрешностей

Порядок и методику выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями, обработки результатов и оценки их погрешностей регламентирует ГОСТ 8.207-76.

Результаты отдельных наблюдений одной и той же величины различаются, причем эти изменения происходят без какой-либо закономер­ности. Это вызвано наличием в этих наблюдениях погрешности, которая изменяется слу­чайным образом при повторных измерениях одной и той же ве­личины, т.е. случайной погрешности.

Случайные погрешности вызываются большим числом причин, действующих независимо друг от друга. Эти причины приводят к тому, что случайные погрешности нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат измерения можно оценить, проведя ряд наблюдений одной и той же величины. Методика обработки результатов наблюдений зависит от тех закономерностей, которые характеризуют их рассеивание. Оценка случайной погрешности вообще возможна лишь тогда, когда рассеивание результатов наблюдений обладает статистической устойчивостью. Поэтому при пользовании каким-либо средством или методом измерения необходимо априори быть уверенным в устойчивости полученных результатов или установить это экспериментально.

Наиболее полно свойства случайной величины описываются функцией распределения. Она устанавливает связь между воз­можными значениями случайной погрешности и вероятностью появления этих значений. Вероятность того, что погрешность измерения находится в пределах от Δ₁ до Δ ₂, равна площади под кривой распределения плотности вероятности (на рис. 5 за­штрихована). Закон распределения случайных погрешностей мо­жет носить произвольный характер, однако при практических расчетах распределение случайных погрешностей часто аппрокси­мируют нормальной, равномерной или иной функцией.

Нормальный закон описывается уравнением

,

где f (Δ) — функция распределения плотности вероятности случайной погрешности; S — среднее квадратическое отклонение.

Распределение плотности вероятности случайных погрешностей

Применение этого закона базируется на двух аксиомах, опирающихся на опыт. Первая из них — аксиома случайности — гласит, что при большом числе измерений погрешности, равные по значению, но разные по знаку, встречаются одинаково часто, т. е. кривая должна быть симметрична относительно оси ординат. Вторая аксиома — аксиома распределения — утверждает, что ма­лые погрешности встречаются чаще, чем большие. Плотность ве­роятности максимальна при Δ = 0 и асимптотически стремится к нулю при увеличении Δ. Если сравнить два графика нормаль­ного распределения с различными значениями S, то увидим, что с увеличением S кривая расширяется, а максимум ее снижается, т. е. увеличивается доля больших погрешностей и уменьшается доля малых. Таким образом, чем меньше о, тем выше точность измерений. На рис. показаны две кривые плотности вероят­ности, причем среднее квадратическое отклонение кривой 1 меньше среднего квадратического отклонения кривой 2.

Для увеличения точности измерений, при наличии случайных погрешностей, производят не однократное наблюдение измеряе­мой величины, а многократное. Принято называть значение ве­личины, полученное при отдельном наблюдении, результатом наблюдения, а среднее арифметическое группы результатов на­блюдений — результатом измерения.

Стандартом (ГОСТ 8.207—76) установлены основные положе­ния методики обработки измерения с многократными наблюде­ниями, заключающиеся в следующем.

1. Исключают известные систематические погрешности Δa_iс из ре­зультатов наблюдений путем прибавления поправок:

где X_i — исправленный результат i-гo наблюдения; a_i — резуль­тат i-гo наблюдения; — поправка для i-гo наблюдения.

2. Рассчитывают среднее арифметическое исправленных ре­зультатов группы наблюдений по формуле:

.

За результат измерения принимают это найденное среднее арифметическое значение отдельных наблюдений.

Результат измерения, вычисленный по ограниченному числу наблюдений, содержит случайную погрешность, поэтому его значение может меняться при выполнении нескольких групп наблюдений. Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет тем выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений. Рассеивание результатов наблюдений характери­зуется средним квадратическим отклонением (СКО) результатов наблюдений S_Xi. При ограниченном числе наблюдений определить точное значение СКО невозможно.

3. Рассеивание отдельных наблюдений относительно среднего, вызванное наличием случайных погрешностей, оценивают по формуле:

.

4. Определяют наличие грубых погрешностей (грубых ошибок или грубых наблюдений).

Грубой погрешностью называется погрешность, существенно превышающая ожидаемую в данных условиях. Причиной грубой погрешности может быть кратковременное изменение условий эксперимента, неправильный отсчет по шкале прибора, непра­вильная запись результата наблюдений и т. п. Для обнаружения наблюдений, содержащих грубые погрешности, пользуются спе­циальными критериями, позволяющими решить, рассматривать ли данное наблюдение содержащим грубую погрешность и, следова­тельно, отбросить его или считать его содержащим большую случайную погрешность. Наиболее простым, хотя и недостаточно теоретически обоснованным, является критерий .

Этот критерий основан на том, что в группе с небольшим числом наблюдений появление результата с отклонением, пре­вышающим , маловероятно. Поэтому считают, что если , то результат i-гo наблюдения содержит грубую погрешность и его следует отбросить.

Другим, достаточно простым критерием, применяемым при небольшом числе наблюдений, является критерий Шовене. В этом случае также отбрасываются наблюдения с отклонением, превы­шающим в установленное число раз, но оно будет различным для разного числа наблюдений. Значения критерия Шовене при­ведены ниже:

Число измерений	3	6	8	10	15
Максимальное отклонение от среднего, превышение которого следует считать грубой погрешностью	1,6 SXi	1,7 SXi	1,9 SXi	2,0 SXi	2,1 SXi

5. Оценивают СКО результата измерений.

Как отмечалось выше результат измерения , вычисленный по ограниченному числу наблюдений, содержит случайную погрешность, поэтому его значение может меняться при выполнении нескольких групп наблюдений.

Характеристикой рассеивания результата измерения от его математического ожидания служит оценка СКО результата измерения S_Х , определяемая по формуле

.

Оценки СКО результатов измерения и наблюдения связаны соотношением

.

Таким образом, СКО результата измерения с ростом числа наблюдений в группе уменьшается в n раз. Например, при 9 наблюдениях СКО результата измерений будет втрое меньше, чем при однократном наблюдении.

6. Находят доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ε(Р) — это границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью Р случайную погрешность измерения. При нор­мальном распределении случайных погрешностей доверительные границы связаны с оценкой СКО результата измерения соотно­шением:

,

где t— коэффициент Стьюдента, зависящий от двух параметров: числа п наблюдений в группе и выбранной доверительной вероят­ности Р. Рекомендуется доверительную вероятность Р принимать равной 0,95, а в особо ответственных случаях — 0,99 и выше.

Значения коэффициентов Стьюдента приведены в табл.

Таблица

Значения коэффициента Стьюдента

n -1	T		n -1	t
	Р= 0,95	Р= 0,99		Р = 0,95	Р= 0,99
3 4 5 6 7 8 9 10 12 14	3,182 2,776 2,541 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,179 2,145	5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,055 2,977	16 18 20 22 24 26 28 30 ∞	2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,043 1,960	2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576

Случайная погрешность, определенная по выше приведенной методике, является одной из составляющих общей погрешности результата измерений. Другими составляющими являются неисключенные систематические погрешности.

7. При наличии нескольких неисключенных систематических погрешностей, заданных своими границами ±θ_i доверительные границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерения при их равномерном распределении вычисляют по формуле

,

где θ_i — граница i-й неисключенной систематической погреш­ности при доверительной вероятности Р; k — коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности; при Р = 0,95 коэффициент k = 1,1.

Примечание: результат вычисления границ суммарной неисключенной систематической погрешности при доверительной вероятности Р по выражению () следует сравнить с алгебраической суммой этих погрешностей

(без учета их знаков) , и если эта сумма окажется меньше , то за границы суммарной неисключенной систематической погрешности нужно принять эту алгебраическую сумму.

8. Границы погрешности результата измерения находят по-разному, в зависимости от соотношения СКО результата измере­ния S_Х и неисключенной систематической погрешности θ(Р).

При неисключенными систематическими погреш­ностями пренебрегают и принимают границу погрешности ре­зультата ΔХ = ± ε(Р).

При пренебрегают случайной погрешностью и при­нимают ΔХ = ±θ(Р).

При границы погрешности результата измерения определяют по формуле

,

где – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и не­исключенной систематической погрешности без учета их знаков;

- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

О кончательно результат измерения записывается в следующем виде: ± ΔХ; Р = …; n = …. .

Результаты обработки записывают с учетом правил округления, изложенных выше.

Обработка результатов косвенных измерений и оценивание их погрешностей

Основные положения определения результатов измерений и оценивание их погрешностей при условии, что аргументы, от которых зависит измеряемая величина, являются постоян­ными физическими величинами; известные систематические погрешности результатов измерений аргументов исключены, а неисключенные систематические погрешности распределены равномерно внутри заданных границ ±θ, регламентированы методическими указаниями РД 50—555—85.

Искомое значение физической величины Х находят на ос­новании результатов измерений аргументов a₁ . . . , a_i, . . . , a_т , связанных с искомой величиной уравнением

.

Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально с погреш­ностью, которой можно пренебречь.

Результаты измерений аргументов и оценки их погреш­ностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений или из справочной литературы, технической документации.

При оценивании доверительных границ погрешностей ре­зультата косвенного измерения принимают вероятность, равную 0,95, или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.

Основные положения определения результатов измере­ний и их погрешностей устанавливаются для оценивания кос­венно измеряемой величины и погрешностей результата из­мерения:

при линейной зависимости и отсутствии корреляции меж­ду погрешностями измерений аргументов;

при нелинейной зависимости и отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов;

для коррелированных погрешностей измерений аргумен­тов при наличии рядов отдельных значений измеряемых ар­гументов.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некор­релированных погрешностях измерений аргументов исполь­зуют метод линеаризации.

Метод линеаризации предполагает разложение нелиней­ной функции в ряд Тейлора.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.

Если неисключенные систематические погрешности ре­зультатов измерений аргументов заданы границами ±θ_i, то доверительные границы неисключенной систематической пог­решности результата косвенного измерения ±θ(Р) при вероятности Р вычисляют по выражению:

,

где поправочный коэффициент, определяемый приня­той доверительной вероятностью и числом m составляющих

При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,45, если число суммируе­мых составляющих m > 4. Если же число составляющих m < 4, то поправочный коэффициент k < 1,4; более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости.

Примечание: результат вычисления границ суммарной неисключенной систематической погрешности при доверительной вероятности Р по выражению следует сравнить с алгебраической суммой этих погрешностей (без учета их знаков)

,

и если эта сумма окажется меньше θ_Σ < θ(Р), то за границы суммарной неисключенной систематической погрешности нужно принять эту алгебраическую сумму.

Погрешность, возникающая при использовании форму­лы для суммирования неисключенных систематичес­ких погрешностей, не превышает 5 %.

Оценку среднего квадратического отклонения случайной погрешности результата косвенного измерения S_Х вычис­ляют по формуле

.

Доверительные границы случайной погрешности резуль­тата косвенного измерения при условии, что распределение погрешностей результатов измерений аргументов не противо­речит нормальному распределению, вычисляют по формуле:

,

где t — коэффициент Стьюдента, соответствующий довери­тельной вероятности Р числу степеней свободы , вычисляемому по формуле

,

где n_i — число измерений при определении a_i-го аргумента.

Погрешность результата косвенного измерения оценивают на основе композиции распределений случайных и неисклю­ченных систематических погрешностей.

Если , то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают в качестве пог­решности результата измерения доверительные границы слу­чайных погрешностей ΔХ = ± ε(Р).

Если , то случайными погрешностями пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения границы неисключенных систематических погреш­ностей ΔХ = ±θ(Р).

Если , то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле

.

Значения коэффициента K_P для доверительной вероятности 0,95 и 0,99 в зависимости от отношения представляются в справочной литературе.

Погрешность, возникающая при использовании формулы (24) для суммирования случайных и неисключенных систе­матических погрешностей не превышает 12 %.

Форма представления результатов однократных измере­ний должна соответствовать МИ 1317—86.

При симметричной доверительной погрешности резуль­тат однократного измерения представляется в форме

Х ± ΔХ ; Р = …. .

Числовое значение результата измерения должно оканчи­ваться цифрами того же разряда, что и значение погрешнос­ти ΔХ.