Глава 2. Основы техники измерений параметров технических систем

2.1. Модель измерения и основные постулаты метрологии

Для оценки технического состояния технических систем (ТС) в эксплуатации производят измерения ее выходных параметров и на основе измерительной информации принимают решение о при­годности ТС к дальнейшей эксплуатации или необходимости про­филактических (ремонтных) воздействий.

В простейшем случае модель измерения (рис. 2.1) может быть описана функциональной зависимостью изменения выходного сигнала у от изменения входного сигнала х, как у = ƒ(х).

Рис. 2.1. Модель измерения

Однако в процессе измерений возникают различные внешние и внутренние помехи z, Z_r.., которые вносят погрешность в ре­зультат измерения. Причем каждая из составляющих имеет свою плотность вероятности f(x),f(y),f(z)- Это определяет тот факт, что при многократном измерении одной и той же величины х одним и тем же средством измерения в одинаковых условиях результаты измерения, как правило, различаются между собой и не совпада­ют с истинным х_и значением физической величины у, ≠у_г≠...* х_и.

Под истинным значением физической величины понимается значение, которое идеальным образом отражало бы в качествен­ном и количественном отношениях соответствующие свойства ТС через ее выходной параметр.

Поскольку истинное значение есть идеальное значение, то в качестве наиболее близкого к нему используют действительное значение х_д, найденное экспериментальным методом, например с помощью более точных СИ.

Изложенное позволяет сформулировать основные постулаты метрологии.

• Истинное значение определяемой величины существует, и оно постоянно.

• Истинное значение измеряемой величины отыскать невоз­можно. Отсюда следует, что результат измерения у, как правило, математически связан с измеряемой величиной вероятностной зависимостью.

В дальнейшем необходимо различать термины "измерение", "контроль", "испытание" и "диагностирование". Контроль — ча­стный случай измерения, и он проводится с целью установления соответствия измеряемой величины заданному допуску. Контроль используется также для настройки, регулировки и при установке (замене) отдельных блоков ТС.

Более сложной метрологической операцией является испыта­ние, которое состоит в воспроизведении в заданной последова­тельности определенных воздействий, измерении реакций объек­та на данное воздействие и их регистрации.

Диагностирование системы — это процесс распознавания со­стояния элементов этой системы в данный момент времени. По результатам диагностирования можно прогнозировать состояние элементов системы при дальнейшей ее эксплуатации.

Для проведения измерений с целью контроля, диагностиро­вания или испытания ТС необходимо осуществлять мероприятия, определяющие так называемое проектирование измерений: ана­лиз измерительной задачи с выяснением возможных источников погрешностей; выбор показателей точности измерений; выбор числа измерений, метода и СИ; формулирование исходных дан­ных для расчета погрешности; расчет отдельных составляющих и общей погрешности; расчет показателей точности и сопоставле­ние их с выбранными показателями.

В целом все эти вопросы должны быть отражены в методике выполнения измерений (МВИ). Причем следует отдавать предпоч­тение инженерным (упрощенным) методам расчета, но степень сложности МВИ должна быть адекватна возможной степени не­точности исходных данных.

Именно эти вопросы будут рассмотрены ниже. При этом не рассматриваются методы оценки законов распределения измеря­емых величин и погрешностей, оценки их достоверности по кри­териям согласия, выявления аппроксимирующих функций и точ­ности этих аппроксимаций. Данные вопросы достаточно подроб­но изложены в работах по теории надежности и математической статистике и относятся к исследовательским (лабораторным) ме­тодам измерения [35; 53].

2.2. Виды и методы измерений

Классификация видов измерений приведена на рис. 2.2. Виды измерений определяются физическим характером измеряемой ве­личины, требуемой точностью измерения, необходимой скорос­тью измерения, условиями и режимом измерений и т. д. Из рис. 2,2 следует, что в метрологии существует множество видов измерений и число их постоянно увеличивается. Можно, например, выделить виды измерений в зависимости от их цели: контрольные, диагно­стические и прогностические, лабораторные и технические, эта­лонные и поверочные, абсолютные и относительные и т. д.

Наиболее часто используются прямые измерения, состоящие в том, что искомое значение величины находят из опытных данных путем экспериментального сравнения. Например, длину измеря­ют непосредственно линейкой, температуру — термометром, силу — динамометром. Уравнение прямого измерения: у = сх, где С — цена деления СИ.

Если искомое значение величины находят на основании изве­стной зависимости между этой величиной и величинами, най­денными прямыми измерениями, то этот вид измерений называют косвенным. Например, объем параллелепипеда находят путем умножения трех линейных величин (длины, ширины и высоты); электрическое сопротивление — путем деления падения напря­жения на величину силы электрического тока. Уравнение косвен­ного измерения у = ƒ(x₁x₂...,x_n), где х₁. — i-й результат прямого измерения.

Совокупные измерения осуществляются путем одновременного измерения нескольких одноименных величин, при которых иско­мое значение находят решением системы уравнений, получаемых в результате прямых измерений различных сочетаний этих вели­чин. При определении взаимоиндуктивности катушки М, напри­мер, используют два метода: сложения и вычитания полей. Если индуктивность одной из них L₁ а другой — L₂ то находят L₀₁=L₁+L₂+2M и L_m= L₁+L₂-2M. Откуда M= (L_0l - L₀₇)/4.

Совместными называют производимые одновременно (прямые и косвенные) измерения двух или нескольких неодноименных ве­личин. Целью этих измерений, по существу, является нахождение функциональной связи между величинами. Например, измерение сопротивления R_t проводника при фиксированной температуре / по формуле

R_t= R₀ (1-а∆t),

где R₀ и а — сопротивление при известной температуре t₀ (обычно 20 °С) и температурный коэффициент — величины постоянные, измеренные косвенным методом; ∆t=t-t₀ — разность температур; t — заданное значение температуры, измеряемое прямым мето­дом.

Рис. 2.2. Классификация видов измерений

Приведенные виды измерений включают способы решения измерительной задачи с теоретическим обоснованием и разра­боткой использования СИ по принятой МВИ. Методика — это технология выполнения измерений с целью наилучшей реализа­ции метода.

Прямые измерения — основа более сложных измерений, и поэтому целесообразно рассмотреть методы прямых измерений. В соответствии с РМГ 29—99 различают:

1. Метод непосредственной оценки, при котором значение ве­личины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора, например измерение давления пружин­ным манометром, массы — на весах, силы электрического тока — амперметром.

1. Метод сравнения с мерой, где измеряемую величину сравни­вают с величиной, воспроизводимой мерой. Например, измере­ние массы на рычажных весах с уравновешиванием гирей; изме­рение напряжения постоянного тока на компенсаторе сравнени­ем с ЭДС параллельного элемента.

3. Метод дополнения, если значение измеряемой величины дополняется мерой этой же величины с таким расчетом, чтобы на прибор сравнения воздействовала их сумма, равная заранее за­ данному значению.

4. Дифференциальный метод характеризуется измерением раз­ности между измеряемой величиной и известной величиной, воспроизводимой мерой. Метод позволяет получить результат высокой точности при использовании относительно грубых средств измерения.

Пример 2.1. Измерить длину л: стержня, если известна длина 1(1<х) меры. Как показано на рис. 2.3, х=1+ а (а — измеряемая величина):

Действительные значения а_л будут отличаться от измеренного а на величину погрешности ∆:

Рис. 2.3. Дифференциальный метод измерения

3. Нулевой метод аналогичен дифференциальному, но разность между измеряемой величиной и мерой сводится к нулю. При этом нулевой метод имеет то преимущество, что мера может быть во много раз меньше измеряемой величины. Рассмотрим, например, неравноплечие весы (рис. 2.4, а), где PJ = PJ₂. В электротехнике — это мосты для измерения индуктивности, емкости, сопротивления (рис. 2.4, б).

Рис. 2.4. Нулевой метод измерения: а — схема механических весов; б — схема электрического моста

6. Метод замещения — метод сравнения с мерой, в которой измеряемую величину замещают известной величиной, воспро­изводимой мерой. Например, взвешивание с поочередным поме­щением измеряемой массы и гирь на одну и ту же чашку весов.

Кроме того, можно выделить нестандартизованные методы:

• метод противопоставления, при котором измеряемая вели­чина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воз­действуют на прибор сравнения. Например, измерения массы на равноплечих весах с помещением измеряемой массы и уравнове­шивающих ее гирь на двух чашках весов;

• метод совпадений, где разность между сравниваемыми вели­чинами измеряют, используя совпадение отметок шкал или периодических сигналов.

Например, при измерении длины штангенциркулем наблюда­ют совпадение отметок на шкалах штангенциркуля и нониуса; при измерении частоты вращения стробоскопом — метки на вращающемся объекте с момента вспышек известной частоты.

В литературе [2; 43; 18] иногда встречается название измерений с однократными наблюдениями — обыкновенные измере­ния, а с многократными — статистические. Кроме того, если весь измеряемый параметр фиксируется непосредственно СИ, то это —1 абсолютный метод, а если СИ фиксирует лишь отклонение пара-метра от установочного значения, то это относительный (пороговый) метод измерения.

Другие вилы к методы измерений (см. рис. 2.2) не требуют специальных пояснений и будут рассмотрены ниже.

2.3. Погрешности измерении

При практическом использовании тех или иных измерений важно оценить их точность. Термин "точность измерений", т. е. сте­пень приближения результатов измерения к некоторому действи­тельному значению, не имеет строгого определения и использу­ется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие "погрешность из­мерений" (чем меньше погрешность, тем выше точность). Оценка погрешности измерений — одно из важных мероприятий по обес­печению единства измерений.

Количество факторов, влияющих на точность измерения, доста­точно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рис. 2.5) в известной мере условна, так как различные погрешности в : зависимости от условий измерительного процесса проявляются в различных группах. Поэтому для практичесьсих целей достаточно рас­смотреть случайные и систематические составляющие общей погреш­ности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых, косвенных, совокупных и равноточных измерениях.

Погрешность измерения ∆х_изм — это отклонение результата из­мерения х от истинного (действительного) х_и(х_д) значения изме­ряемой величины:

В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность определяется как разность ∆=х-х_и или ∆=х-х_д , а относительная — как отношение

Приведенная погрешность у = ±-—100%, где х — нормированное значение величины. Например, x_N= x_maх, где х_min — макси­мальное значение измеряемой величины.

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение х

Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к х_и. Для оценки ее возможных откло­нений от х_и определяют опытное среднее квадратическое откло­нение (СКО).

Для оценки рассеяния отдельных результатов х. измерения от­носительно среднего х определяют СКО:

Примечание. Применение формул (2.3) правомерно при усло­вии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении темпе­ратуры остывающего металла или измерении потенциала провод­ника через равные отрезки длины, то в формулах (2.3) в качестве х следует брать какую-то постоянную величину, например нача­ло отсчета.

Формулы (2.2) и (2.3) соответствуют центральной предель­ной теореме теории вероятностей, согласно которой

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Это отражает и формула (2.4), определяющая фундамен­тальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нуж­но увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

Нужно четко разграничивать применение ơ-_x и ơ_x : ơ-_x величи­на используется при оценке погрешностей окончательного ре­зультата, а ơ-_x — при оценке погрешности метода измерения.

В зависимости от характера проявления, причин возникнове­ния и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также гру­бые погрешности (промахи).

Систематическая ∆_с составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная ∆ составляющая изменяется при повторных изме­рениях одного и того же параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений усло­вий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специ­альных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности изме­рения проявляются одновременно, так что общая погрешность при

их независимости ∆= ∆_о + ∆” или через СКО

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно воз­никает из-за множества неутонченных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов из­мерений. Для этого должны быть известны вероятностные и ста­тистические характеристики (закон распределения, закон мате­матического ожидания, СКО, доверительная вероятность и дове­рительный интервал). Часто для предварительной оценки закона

распределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

(2.5)

Например, при ט ≤ 0,33,...,0,35 можно считать, что распреде­ление случайной величины подчиняется нормальному закону.

Если Р означает вероятность а того, что х результата измере­ния отличается от истинного на величину не более чем А , т.е.

(2.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от х- ∆ до х +∆” — доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нор­мальному закону (а это как правило), то вместо значения ∆” ука­зывается ơ_х. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при ∆” = ơ_х, значение Р = 0,68; при ∆” = 2 ơ_х значение Р= 0,95; при ∆” = З ơ_х, значение Р= 0,99.

Доверительная вероятность по формуле (2.6) характеризует вероятность того, что отдельное измерение х. не будет отклонять­ся от истинного значения более чем на ∆”. Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметичес­кого ряда измерений.

До сих пор рассматривались оценки СКО по "необходимому" (достаточно большому) числу измерений. В этом случае ơ² назы­вается генеральной дисперсией. При малом числе измерений (ме­нее 10—20) получают так называемую выборочную дисперсию ơ².

Поэтому при ограниченном числе измерений n вводят коэф­фициент Стьюдента t_p, определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной ве­роятности Р.

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повы­шение точности измерений (уменьшение ơ_x) и увеличение числа измерений n с целью использования соотношения (2.4). Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использо­ваны, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью опре­деляться систематической составляющей Д. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ ∆_си (или y_w), то необходимо, чтобы доверительный интервал ±t_pơ_xl√n был суще­ственно меньше ∆_с.

Обычно принимают Р = 0,95. В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо ко­ренным образом изменить методику измерения. Для сравнения слу­чайных погрешностей с различными законами распределения исполь­зование показателей, сводящих плотность распределения к одному или нескольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и высту­пают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность.

Надежность самого СКО характеризуется величиной

Принято, что если ơ_п<0,25а, то оценка точности надежна. Это условие выполняется уже при n = 8.

Для практических целей важно уметь правильно сформулиро­вать требования к точности измерений. Например, если за допус­тимую погрешность изготовления принять ∆=Зơ, то, повышая требования к контролю (например, до ∆-ơ), при сохранении технологии изготовления увеличивается вероятность брака.

Наиболее вероятная погрешность ∆_в отдельного измерения оп­ределяется по формуле

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением и вели­чина Л_в быстро уменьшается лишь до n = 5 ...10, Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5...10 неце­лесообразно, что совпадает с условием получения надежных зна­чений ơ_о.

Число измерений можно выбрать из данных табл. 2.1 или по одной из формул:

где л_от — число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как среднего зна­чения

Таблица М

Необходимое число измерений при нормальном законе распределе­ния случайной величины (при Р= 0,95)

Как правило, считают, что систематические погрешности мо­гут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погреш­ности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные ос­татки, которые и нужно учитывать, чтобы оценить их границы.

Это и будет систематическая погрешность измерения. То есть, в принципе, систематическая погрешность тоже случайна, и ука­занное деление обусловлено лишь установившимися традициями обработки и представления результатов измерения.

Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает ва­риацию (разброс) результатов, то систематическая — устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначи­тельность (с целью пренебрежения) систематической погрешно­сти нужно доказать.

Действительно, если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов, как правило, будут различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей. Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1. Из двух рядов n₁ и n₂ независимых измерений находят сред­ние арифметические х₁ и х₂.

2. Определяют значения

4. Вероятность того, что разность [x₁-х₂]≥ε является случай­ной величиной, определяется равенством P([x₁-x₂] ≥ε) = 1-P_(p.n)

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р≥0,95, то разность [x₁-x₂] но­сит систематический характер.