Решение типового примера

Пример 4(а). Даны векторы , причём , , , = = . Найти угол между векторами и .

Для нахождения угла между векторами и воспользуемся формулой:

.

Найдём . Для этого воспользуемся распределительным свойством:

.

По определению скалярного произведения:

;

.

Найдём .

.

Следовательно,

.

Тогда

.

Пример 4(б). Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

Сначала найдём векторные произведения, используя то, что

.

Получим

.

Затем найдём скалярные произведения, используя то, что

.

Получим

.

Задача 5. Даны вершины пирамиды . Найти: 1) площадь грани ; 2) объём пирамиды; 3) длину высоты пирамиды, проведённой из вершины .

1. , , , ;

2. , , , ;

3. , , , ;

4. , , , ;

5. , , , ;

6. , , , ;

7. , , , ;

8. , , , ;

9. , , , ;

10. , , , ;

11. , , , ;

12. , , , ;

13. , , , ;

14. , , , ;

15. , , , ;

16. , , , ;

17. , , , ;

18. , , , ;

19. , , , ;

20. , , , ;

21. , , , ;

22. , , , ;

23. , , , ;

24. , , , ;

25. , , , ;

26. , , , ;

27. , , , ;

28. , , , ;

29. , , , ;

30. , , , .

Решение типового примера.

Пример 5. Даны вершины пирамиды : , , , . Найти: 1) площадь грани ; 2) объём пирамиды; 3) длину высоты пирамиды, проведённой из вершины .

D

C

B

1. Для нахождения площади грани воспользуемся формулой

, где

;

В нашем случае

;

;

;

.

Тогда

2. Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой

, где

,

.

.

В нашем случае

;

;

.

Следовательно,

.

Тогда

.

Для нахождения длины высоты пирамиды, проведённой из вершины D, воспользуемся формулой:

.

Тогда

.

Следовательно, нужная нам высота ед.

Задача 6.

6.1. – 6.8. Сила приложена к точке . Вычислить работу

силы в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

6.9. – 6. 16. Даны три силы , приложенные к точке .

Вычислить работу , производимую равнодействую-

щей этих сил, когда точка её приложения, двигаясь

прямолинейно, перемещается в точку .

9. ;

10. ;

11. ;

12. 

13. ;

14. ;

15. ;

16. , , , , .

6.17. – 6.23. Сила приложена к точке . Определить момент

этой силы относительно точки .

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. .

6.24. – 6.30. Даны три силы , приложенные к точке .

Определить момент равнодействующей этих сил

относительно точки .

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. .

Решение типового примера.

Пример 6(а). Сила приложена к точке . Вычислить работу силы в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку .

Для нахождения работы воспользуемся формулой:

, где

Тогда

.

Следовательно, .

Пример 6(б). Даны три силы , и , приложенные к точке Определить момент равнодействующей этих сил относительно точки .

Момент равнодействующей сил найдём по формуле:

где .

Тогда

.

.

.

Следовательно, .

Задача 7. Доказать, что векторы образуют базис. Разложить вектор по этому базису.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. , .