Решение типового примера
Пример 1(а). Даны точки , . Найти координаты и длину вектора .
Для нахождения координат и длины вектора воспользуемся формулами:
,
,
или .
Тогда
,
.
Пример 1(б). Даны точка , вектор . Найти координаты точки и длину вектора .
Для нахождения координат точки и длины вектора воспользуемся теми же формулами, что и в примере 1(а).
.
Т.е. .
Тогда
.
Следовательно,
.
Тогда
.
.
Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Построить на чертеже треугольник и следующие векторы: 1) и ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
, , .
Решение типового примера
Пример 2. Даны координаты вершин треугольника : , , . Построить на чертеже треугольник и следующие векторы: 1) и ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
1 ) В декартовой системе координат на плоскости по заданным координатам построим точки , и , соединим их отрезками. Получим треугольник . Векторы и построим, указав направление на отрезках и (см. рис. 1).
Р и с. 1.
2 ), 3) Вектор направлен также как и вектор и больше его по длине в 2 раза. На рис. 2 вектор . Для построения вектора продолжим отрезок . На рис.2 вектор .
Р и с. 2.
4) Вектор направлен в сторону, противоположную вектору и больше его по длине в 3 раза. На рис. 3 вектор .
Р и с. 3.
5), 6) Чтобы построить векторы и , достроим треугольник до параллелограмма . Диагонали построенного параллелограмма с выбранным направлением будут искомыми векторами: и на рис. 4.
Р и с. 4.
Задача 3.
Даны вершины треугольника . Найти внутренний угол при вершине .
Даны вершины четырёхугольника : . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Зная одну из вершин треугольника и векторы , совпадающие с двумя его сторонами, найти остальные вершины.
Доказать, что точки являются вершинами трапеции.
Даны вершины треугольника . Найти внешний угол при вершине .
Доказать, что треугольник с вершинами , является равнобедренным.
Доказать, что четырёхугольник с вершинами , является параллелограммом.
Доказать, что точки являются вершинами трапеции.
Доказать, что точки расположены на одной прямой.
Доказать, что четырёхугольник с вершинами , является параллелограммом.
Даны вершины треугольника . Найти внутренний угол при вершине .
Проверить, что точки являются вершинами ромба.
Найти координаты вершины параллелограмма , если .
Доказать, что три точки расположены на одной прямой.
Даны вершины треугольника . Найти внутренний угол при вершине .
Доказать, что четырёхугольник с вершинами , является параллелограммом.
Доказать, что точки расположены на одной прямой.
Проверить, что точки являются вершинами ромба.
Найти координаты вершины параллелограмма , если .
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Доказать, что четырёхугольник с вершинами , является параллелограммом.
Доказать, что точки расположены на одной прямой.
Найти координаты вершины параллелограмма , если .
Даны вершины треугольника . Найти внутренний угол при вершине .
Доказать, что четырёхугольник с вершинами , является параллелограммом.
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Доказать, что точки расположены на одной прямой.
Даны вершины треугольника . Найти внутренний угол при вершине .
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.
Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.