- •Кафедра информационных технологий
- •Москва – 2007
- •Содержание
- •Введение
- •Постановка задачи
- •Решение задачи
- •Глава 2. Оптимизация технологий рецептурных смесей
- •2.1. Оптимизация технологии составления многокомпонентных рецептурных смесей
- •1. Формирование математической модели
- •2. Формирование компьютерной модели
- •3. Поиск решения
- •2.2. Моделирование двух- и трёхкомпонентной рецептурной смеси
- •1. Модель показателя активной кислотности (pH)
- •2. Модель водосвязывающей способности (всс)
- •Глава 3. Регрессионно-факторный анализ в исследовании адекватности эмпирических зависимостей
- •3.1. Идентификация параметров эмпирических зависимостей технологических моделей
- •3.2. Адекватность эмпирических зависимостей
- •Критерий поворотных точек для определения случайности остаточной компоненты
- •Определение автокорреляции остатков критерием Дарбина-Уотсона
- •Независимость распределения остаточной компоненты по r/s-критерию
- •3.3. Оценка статистической значимости регрессионных моделей технологических объектов
- •Коэффициент детерминации как характеристика силы вязи между показателями исследуемого технологического объекта
- •Оценка качества уравнения регрессии f-критерием Фишера
- •Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции t-критерием Стьюдента
- •Постановка задачи
- •Зависимость щёлочности и показателя активной кислотности рН от объёмной доли спирта
- •Решение задачи
- •Глава 4. Спектральные методы оценки нечетких потребительских свойств пищевого сырья и готовых продуктов
- •4.1. Сверхразрешение при различии спектральных распределений Постановка задачи
- •Решение задачи
- •4.2. Сравнительный анализ технологий. Моделирование связи показателей технологий
- •Список литературы
4.2. Сравнительный анализ технологий. Моделирование связи показателей технологий
Довольно часто качество технологических объектов оценивается не на основе сравнения векторов их состояний или их траекторий, а на основе анализа частот распределения некоторых физико-химических показателей, например, оптических, аминокислотных, органолептических и других спектральных распределений.
Пусть некоторый показатель s вектора состояния технологического объекта имеет частотное распределение k своих k-х разрядных значений (исходов) при максимальном значении исходов K [3].
Рис. 9. Зависимость показателя s вектора состояния технологического объекта от частотного распределения
Каждой n-й стандартной технологии будет соответствовать стандартное опорное распределение частот nk (n = 1, 2, …, N; k = 1, 2, …, K).
Распределение частот k, отклоняющееся от стандартного распределения, сравнивается со всеми опорными распределениями, и по результатам сравнения возможно судить как о принадлежности исследуемого распределения какому-то стандартному классу, так и сделать вывод о качестве технологии, связав её с величиной отклонения [3].
Величина, определяющая меру различия между распределениями, именуется критерием «хи-квадрат» (2) Пирсона-Фишера (см ниже).
Методы теории вероятности разрешают при достаточно большом количестве наблюдений определить такие критические значения ( = 0,1; 0,5), которые при справедливости «равенства» сравниваемых распределений (нулевая гипотеза) могут превышаться не более чем в = 1% случаев или в = 5% случаев. Величина определяет уровень значимости критерия различия распределений. Считается, что сравниваемые распределения зависимы, если (нулевая гипотезы отвергается) и независимы, если (нулевая гипотеза принимается) [9].
Критические значения зависят от числа f степеней свободы. Число степеней свободы какой-либо статистической оценки равно числу независимых величин, используемых при вычислении этой оценки, т.е. общему числу таких величин минус число условий, связывающих эти величины.
Рассмотрим конкретный пример.
В серии опытов исследовались 100 образцов свинины одного и того сорта на наличие зависимости цветового окраса (показатель B) от уровня кислотности pH (показатель A).
Известно, что цветовой окрас определяется количеством пигментов, которые содержатся в мышечной ткани [3]. Уровень же pH связан с развитием стресса у животных перед убоем, а также нарушениями, вызванными их обездвиженностью во время корма.
У выбранных образцов показатель A (уровень pH) варьировался в диапазоне от 4,0 до 9,0 и имел 3 градации [3]:
A1 |
pH < 5,5 |
A2 |
5,5 pH 6,4 |
A3 |
pH > 6,4 |
В свою очередь показатель B также разбивался на три уровня:
B1 |
бледно-розовый окрас |
B2 |
ярко-розовый окрас |
B3 |
тёмно-красный окрас |
В данном эксперименте уровень помех определялся относительной ошибкой измерения pH.
Исследование связи показателей A и B осуществляется на основании критерия «хи-квадрат».
Пусть показатель A имеет k градаций: {A1, A2, …, Ak}, а показатель B – m градаций: {B1, B2, …, Bm}. Введём следующие обозначения:
km – частота события AkBm,
‑ частота появления события Ak,
‑ частота появления события Bm,
‑ общее число исследуемых образцов,
‑ вероятность события AkBm,
‑ вероятность события Ak,
‑ вероятность события Bm.
Гипотеза о независимости показателей A и B при записывается следующим образом:
. (4.3)
Величины называются ожидаемыми частотами при выполнении гипотезы о независимости показателей A и B (нулевая гипотеза).
Проверка гипотезы осуществляется на основании критерия «хи-квадрат»
. (4.4)
Методы теории вероятностей позволяют при большом количестве наблюдений найти такие критические значения ( = 0,1; 0,5), которые при справедливости нулевой гипотезы могут превышаться не более чем в = 1% случаев или в = 5% случаев.
Нулевая гипотеза принимается при и отвергается при .
Следовательно, при проверке гипотезы о независимости показателей,
если , то показатели независимы;
если , то показатели зависимы.
Критические значения зависят от числа степеней свободы
f = (K – 1)(M – 1). (4.5)
1. Создадим шаблон для решения задачи.
2. Запишем истинное значение кислотности в диапазоне ячеек В7:CW7.
3. Укажем в ячейке B8 абсолютное значение относительной величины помехи (0,1) и вычислим абсолютное значение ошибки кислотности dA:
4 . Вычислим значение измеренной кислотности по соответствующим формулам.
5. Укажем значение цветовой яркости B.
6. Рассчитаем таблицы сопряжённости, содержащие частоты совместных событий.
Аналогично, сгруппируем события с показателями 5,5 A 6,4 и A > 6,4.
Таким образом, таблица сопряженности имеет вид
7. Вычислим значение «хи-квадрат» по формуле
.
Таким образом, имеется ярко выраженная статистическая зависимость между кислотностью (показатель A) и окрасом свинины (показатель B), т.к. .
8. Выясним, насколько сильна взаимосвязь показателей A и B.
В качестве коэффициента, описывающего силу связи, называемого мерой связи, будем использовать оптимальную по разрешающей способности меру сходства (критерий разрешения) [3]
.
Вычислим её в ячейке C44:
9. Проанализируем, изменится ли данная зависимость, если увеличить уровень помех: будем менять абсолютное значение относительной величины помехи в ячейке B8, задавая его равным 0,3; 0,4; 0,5. При этом автоматически будут пересчитываться значения «хи-квадрат» и 1.
Запишем минимальные значения полученных критериев в отдельную таблицу и построим график их зависимости от уровня помех.
Данный график показывает, что с повышением уровня помех выраженность зависимости кислотности от цветового окраса снижается.