§2. Злiчэнне выказванняў

Увядзем аксiяматычную тэорыю – злiчэнне выказванняў.

(1) Сымболямi з’яўляюцца i лiтары з натуральнымi лiкамi ў якасцi iндэксаў. Сымболi і называюцца прымiтыўнымi злучнiкамi, а лiтары – прапазiцыйнымi лiтарамi.

(2) (a) Усе прапазiцыйныя лiтары – формулы;

(b) калi i – формулы, тады i – таксама формулы;

(c) iншых формулаў няма, г.зн., выраз з’яўляецца формулай калi i толькi калi ён можа быць атрыманы з канцоўнага мноства формулаў з пункту (a) з дапамогаю канцоўнай колькасцi аперацыяў з пункту (b).

(3) Для адвольных формулаў тэорыi наступныя формулы – аксiёмы :

(A1) ;

(A2) ;

(A3) .

(4) У тэорыi адзiнае правiла вывядзення – правiла modus ponens (MP): ёсць непасрэдны вынiк формулаў i .

Заўважым, што аксiёмаў у тэорыi L бясконца многа, бо у (A1), (A2), (A3) – адвольныя формулы; але ўсе яны задаюцца трыма схемамi аксiёмаў (A1), (A2), (A3). Адвольныя формулы, як і ў раздзеле 1, будзем абазначаць вялікімі лацінскімі тлустымі літарамі.

Нашая мэта: пабудаваць аксiяматычную тэорыю, мноства ўсiх тэарэмаў якой ёсць мноства ўсiх таўталогiяў.

Астатнiя злучнiкi алгебры выказванняў увядзем з дапамогаю абазначэнняў:

(1)

Часам мы будзем прапускаць некаторыя дужкi згодна з дамоўленасцю §2 раздзелу 1.

Лема 1. ├ для адвольнай формулы .

Доказ. Пабудуем вывядзенне формулы у тэорыi .

1. (падстанова ў схему аксiёмаў (A2) замест формулаў i адпаведна; мы будзем запiсваць гэта наступным чынам: );

2. (падстанова ў схему аксіёмаў (А1): );

3. (з 2, 1 паводле МР);

4. (падстанова ў схему аксіёмаў (А1): );

5. (з 4, 3 паводле МР). ■

У матэматычных разважаннях часта пэўнае сцверджанне даказваюць пры дапушчэнні, што сапраўднае іншае сцведжанне , пасля чаго выводзяць, што праўдзіцца сцверджанне “Калі , тады ”. Для сістэмы гэты прыём абгрунтоўваецца наступнай тэарэмай.

Сцверджанне 1 (Тэарэма дэдукцыі). Калі – мноства формулаў, і – формулы і ├ , тады ├ . У прыватнасці, калі ├ , тады ├ .

Доказ. Няхай ёсць вывядзенне з , дзе . Iндукцыяй па дакажам, што ├ .

Няхай спачатку . – аксiёма тэорыi , або належыць , або . Паводле схемы аксiёмаў (A1) ёсць аксiёма. Таму ў першых двух выпадках паводле МР ├ . У трэцiм выпадку, г.зн. калi , паводле лемы 1 маем ├ i, значыць, ├ .

Дапусцiм цяпер, што ├ для ўсiх . Для маем чатыры магчымасцi: ёсць аксiёма, або належыць , або , або вынiкае паводле МР з , , дзе , мае выгляд . У першых трох выпадках ├ даказваецца гэтаксама, як для . У чацвертым выпадку, паводле iндукцыйнага меркавання, ├ i ├ . Паводле схемы аксiёмаў (A2), формула – аксiёма. Значыць, паводле правіла МР, ├ i, iзноў паводле МР, ├ . Такiм чынам, даказана, што ├ для ўсiх ; для атрымаем нашае сцверджанне. ■

Заўвага 1. Доказ тэарэмы дэдукцыi дазваляе па дадзеным вывядзеннi з i пабудаваць вывядзенне з .

Вынiк 1. ├ для адвольных формулаў .

Доказ. Разгледзiм вывядзенне з гiпотэзаў:

1. (гiпотэза);

2. (гiпотэза);

3. (гiпотэза);

4. (3, 1, МР);

5. (4, 2, МР).

Такiм чынам, ├ . Адсюль, паводле тэарэмы дэдукцыi, ├ ■

Вынiк 2. ├ .

Доказ.

1. (гiпотэза);

2. (гiпотэза);

3. (гiпотэза);

4. (3, 1, МР);

5. (2, 4, МР).

Такiм чынам, ├ . Адсюль паводле тэарэмы дэдукцыi ├ . ■

Заўвага 2. Вынікі 1 і 2 дазваляюць сфармуляваць новыя “правілы вывядзення”: калі ў некаторым вывядзенні сустрэліся формулы і , мы можам напісаць формулу і зрабіць спасылку “паводле выніку 1”, г.зн, што мы можам уставіць вывядзенне формулы з мноства гіпотэзаў { , }. Аналагічна, калі ў вывядзенні сустрэліся формулы і , можна напісаць , зрабіўшы спасылку “паводле выніку 2”.

Заўвага 3. Сцверджанне, адваротнае да тэарэмы дэдукцыі, таксама праўдзівае. Сапраўды, калi ├ , тады паводле МР маем ├ .

Вынiк 3. Няхай – формулы, . ├ калi i толькi калi

├ .

Доказ. Паводле тэарэмы дэдукцыі і адваротнага сцверджання ├ калi і толькi калi ├ , а гэта будзе калi i толькi калi ├ , i г.д.. Праз крокаў атрымаем сцверджанне вынiку. ■

Параўнайце тэарэму дэдукцыі і вынік 3 з сцверджаннямі 5 і 6 §2 раздзелу 1.

Сцверджанне 2. Усякая тэарэма злiчэння выказванняў ёсць таўталогiя.

Доказ. Кожная аксiёма тэорыi – таўталогiя (гл. практыкаванне 4,(2) – (4) i сцверджанне 2 §2 раздзелу 1). Паводле сцверджання 1 з таго ж параграфу правiла modus ponens, дастасаванае да таўталогiяў, вядзе да таўталогii. Значыць, кожная тэарэма тэорыi ёсць таўталогiя. ■

Вынiк 1. Злiчэнне выказванняў несупярэчлiвае, г.зн., не iснуе формулы такой, што i – тэарэмы .

Доказ. Паводле сцверджання 2 кожная тэарэма тэорыi – таўталогiя. Адмаўленне таўталогii не ёсць таўталогiя. Значыць, немагчыма, каб i былi адначасова тэарэмамi. ■

Лема 2. Для адвольных формулаў наступныя формулы з’яўляюцца тэарэмамi злiчэння выказванняў:

(a) ;

(b) ;

(c) ;

(d) ;

(e) ;

(f) ;

(g) .

Доказ.

(a) ├ .

1. (схема аксiёмаў (A3): );

2. (лема 1: ) (зрабіўшы спасылку на лему 1, мы маем на ўвазе, што замест формулы пад нумарам 2 можа быць выпiсанае вывядзенне формулы );

3. (1, 2, вынiк 2);

4. (схема аксiёмаў (A1): );

5. (4, 3, вынiк 1).

(b) ├ .

1. (схема аксiёмаў (A3));

2. (пункт (a), даказаны вышэй);

3. (2, 1, МР);

4. (схема аксiёмаў (A1));

5. (4, 3, вынiк 1).

(c) ├ .

1. (гiпотэза);

2. (гiпотэза);

3. (схема аксiёмаў (A1));

4. (схема аксiёмаў (A1));

5. (2, 3, МР);

6. (1, 4, МР);

7. (схема аксiёмаў (A3));

8. (6, 7, МР);

9. (5, 8, МР).

Такiм чынам, ├ . Адсюль, паводле тэарэмы дэдукцыi, ├ i, iзноў паводле той сама тэарэмы, ├ .

(d) ├ .

1. (гiпотэза);

2. (схема аксiёмаў (A3));

3. (схема аксiёмаў (A1));

4. (1, 2, МР);

5. (3, 4, вынiк 1).

Паводле 1–5, ├ . Дастасаваўшы тэарэму дэдукцыi, атрымаем патрэбны вынiк.

(e) ├ .

1. (гiпотэза);

2. (пункт (a));

3. (2, 1, вынiк 1);

4. (пункт (b));

5. (3, 4, вынiк 1);

6. (пункт (d));

7. (5, 6, МР).

Адпаведна 1–7, ├ , адкуль (e) атрымлiваецца паводле тэарэмы дэдукцыi.

(f) ├ .

Вiдавочна, ├ . Выкарыстаўшы два разы тэарэму дэдукцыi, атрымаем

├ . Паводле пункту (e), ├ .

Адсюль ├ (вынiк 1).

(g) ├ .

1. (гiпотэза);

2. (гiпотэза);

3. (пункт (e));

4. (1, 3, МР);

5. (пункт (e));

6. (2, 5, МР);

7. (схема аксiёмаў (A3));

8. (6, 7, МР);

9. (4, 8, МР).

Такiм чынам, ├ . Выкарыстаўшы два разы тэарэму дэдукцыi, атрымаем (g). ■

Л

калі ,

калі .

ема 3. Няхай – формула, – прапазiцыйныя лiтары, якiя ўваходзяць у i няхай ёсць пэўны набор значэнняў для . Няхай

Тады ├ .

Растлумачым фармулёўку лемы на прыкладзе. Няхай . Напiшам таблiцу праўдзiвасцi формулы . Лема сцвярджае для кожнага радка факт адпаведнай выводнасцi:

1	1	0		├
1	0	0		├
0	1	0		├
0	0	1		├

Доказ. Доказ правядзем iндукцыяй па колькасцi уваходжанняў у прымiтыўных злучнiкаў і . Пры — прапазiцыйная лiтара , i сцверджанне лемы набывае выгляд ├ i ├ . Дапусцiм цяпер, што , лема праўдзiцца для ўсіх формулаў, у якіх менш за прымітыўных злучнікаў. Формула можа мець адзiн з двух выглядаў:

1) ; вiдавочна, колькасць уваходжанняў прымiтыўных злучнiкаў у меншая за .

a) Няхай на дадзеным наборы значэнняў зменных набывае значэнне 1. Тады набывае значэнне 0, . Паводле iндукцыйнага меркавання ├ , а згодна з лемай 2(b), ├ ; адсюль, паводле MP, ├ , а .

b) Няхай . Тады . Паводле iндукцыйнага меркавання, ├ , .

2) . Колькасць уваходжанняў прымiтыўных злучнiкаў у i меншая, чым у ; таму, паводле iндукцыйнага меркавання, ├ і ├ .

a) Няхай . Тады . Такiм чынам, ├ i, паводле лемы 2(c), ├ , адсюль, паводле MP, ├ , .

b) Няхай . Тады . Маем ├ i, паводле схемы аксiёмаў (A1), ├ , адсюль (МР) ├ , але .

c) I, нарэшце, няхай , . Тады , , . Маем: ├ , ├ . Згодна з лемай 2(f),

├ , адсюль, паводле MP, ├ , i зноў, паводле MP, ├ , а . ■

Сцверджанне 3 (Тэарэма пра поўнасць). Калi формула злiчэння выказванняў з’яўляецца таўталогiяй, тады яна ёсць тэарэма тэорыi .

Доказ. Няхай – таўталогiя i – прапазiцыйныя лiтары, якiя ўваходзяць у . Для кожнага набору значэнняў мы маем, паводле лемы 3, ├ ( , бо – таўталогiя). У выпадку, калi набывае значэнне 1, атрымаем ├ , а калi набывае значэнне 0 – ├ . Адсюль, паводле тэарэмы дэдукцыi, ├ i ├ . Згодна з лемай 2(g)

├ . Выкарыстаўшы два разы MP, атрымаем ├ . Такiм сама чынам, разгледзеўшы два выпадкi, калi мае значэннi 1 i 0, i скарыстаўшы лему 3, тэарэму дэдукцыi i лему 2(g), мы выключым i г.д.; пасля крокаў атрымаем ├ . ■

Вынiк 1. Няхай выраз мае знакi i з’яўляецца скарачэннем пэўнай формулы тэорыi . з’яўляецца таўталогiяй калi i толькi калi ёсць тэарэма тэорыi .

Доказ. Выразы, якiя мы ўвялi для скарачэння запiсу формулаў злічэння выказванняў (гл. (1)), ёсць прапазiцыйныя формулы алгебры выказванняў, логiкава эквiвалентныя формулам злічэння выказванняў, якiя мы скарачаем. Адсюль, вiдавочна, вынiкае, што i, значыць, ёсць таўталогiя калi i толькi калi ёсць таўталогiя. Паводле тэарэмы пра поўнасць і сцверджання 2 гэта будзе калi i толькi калi – тэарэма тэорыi . ■

Вынiк 2. Няхай , – формулы тэорыi . ├ калi i толькi калi ╞ .

Доказ вынiку 2 атрымлiваецца з вынiку 3 тэарэмы дэдукцыі, сцверджання 2, тэарэмы пра поўнасць і сцверджання 6 з §2 раздзелу 1. ■

Заўвага. З несупярэчлiвасцi тэорыi (гл. вынік 1 сцверджання 2) вынiкае iснаванне формулы, якая не з’яўляецца тэарэмай тэорыi (напрыклад, адмаўленне якой-небудзь тэарэмы). З iншага боку, несупярэчлiвасць тэорыi можна было б вывесцi непасрэдна з факту iснавання формулы, якая не з’яўляецца тэарэмай. Сапраўды, паводле лемы 2(с) маем ├ , i, значыць, калi б тэорыя была супярэчлiвай, г.зн., калi б некаторая формула была выводнай разам з сваiм адмаўленнем , тады, паводле MP, у была б выводнай кожная формула .

Вынiк 3. Злiчэнне выказванняў – развязальная тэорыя.

Доказ. Для адвольнай формулы злiчэння выказванняў напiшам таблiцу праўдзiвасцi i высветлiм, цi з’яўляецца яна таўталогiяй. Калi – таўталогiя, тады яна выводная, калi не – невыводная. Такiм чынам, мы маем алгарытм, якi дазваляе вызначыць па дадзенай формуле тэорыi , цi з’яўляецца яна тэарэмай тэорыi . ■

Iснуюць iншыя аксiяматыкi злiчэння выказванняў. Замест можна выбраць iншыя наборы прымiтыўных злучнiкаў (гэтак, каб гэтыя наборы злучнiкаў былi поўнай сiстэмай, г.зн., каб праз iх можна было выразiць астатнiя), напрыклад, i  ці i . У некаторых аксiяматыках задаецца толькi канцоўная колькасць аксiёмаў, але, апроч modus ponens, задаецца яшчэ адно правiла вывядзення – правiла падстановы, якое дазваляе ў формулу замест прапазiцыйных лiтараў падстаўляць адвольныя формулы (гл. [2,4]). У [3] разглядаецца аксiяматыка, у якой злучнiкамi служаць , аксiёмамi – формулы (2), (5)–(13b) з практыкавання 4 §2 раздзелу 1, у якiх – адвольныя формулы (а не прапазiцыйныя лiтары), а правiлам вывядзення – modus ponens.

Практыкаваннi.

1. Высветлiць, цi з’яўляюцца наступныя формулы тэарэмамi тэорыi :

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) ;

(6) ;

(7) ;

(8) ;

(9) ;

(10) .

2. Няхай – прапазiцыйная формула, якая не з’яўляецца таўталогiяй. Пабудуем тэорыю , дадаўшы да у якасцi новых аксiёмаў усе формулы, якiя можна атрымаць з падстановай на месцы прапазiцыйных лiтараў адвольных формулаў (замест усiх уваходжанняў адной лiтары падстаўляецца тая сама формула). Паказаць, што тэорыя супярэчлiвая.

30