Раздзел 1. Алгебра выказванняў
– Ці хочаш ты сказаць, што думаеш, нiбы можаш знайсцi адказ на гэтую загадку? – запытаўся Сакавiцкi Заяц.
– Сапраўды так, – пагадзiлася Алiса.
– Гэтак бы i сказала, – заўважыў Сакавiцкi Заяц. – Трэба заўсёды казаць тое, што думаеш.
– Я гэтак i раблю, – паспяшалася адказаць Алiса. – Прынамсi... Прынамсi я заўсёды думаю тое, што кажу... а гэта тое сама, як вы ведаеце.
– Крыху не тое сама, – запярэчыў Капялюшны Майстар. – Дык ты яшчэ скажаш, быццам “Я бачу тое, што ем” i “Я ем тое, што бачу” – тое самае!
– Дык ты яшчэ скажаш, быццам “Што маю, тое люблю” i “Што люблю, тое маю” – тое самае! – дадаў Сакавiцкi Заяц.
– Дык ты яшчэ скажаш, – прамовiла, нават не расплюшчыўшы вочы, Соня, – быццам “Я дыхаю, калi сплю” i “Я сплю, калi дыхаю” – тое самае!
(Льюiс Кэрал. Прыгоды Алiсы ў краiне цудаў) (пераклад аўтара)
§1. Выказваннi I аперацыi над iмi
Выказванне – зыходнае паняцце алгебры выказванняў, таму мы яго не азначаем праз iншыя паняццi. Мы ўспрымаем выказваннi праз тыя апавядальныя сказы, пра якiя можна сказать, праўдзiвыя яны цi непраўдзiвыя, але мы не абавязкова пра кожнае выказванне ведаем, праўдзiвае яно цi непраўдзiвае. Выказванне ёсць сэнс такога сказу. Напрыклад, сказы:
:
“Вытворная функцыi
роўная
”;
:
“
”;
:
“Мiнск – сталiца Беларусi”;
:
“Нёман упадае ў Чорнае мора”;
:
“
”;
:
“Кожная дыферэнцавальная на адрэзку
функцыя абмежаваная на гэтым адрэзку”;
:
“Раўнанне
пры
не мае развязкаў у мностве натуральных
лікаў” (вялікая тэарэма Фэрма);
:
“Мноства простых лікаў-блізнятаў
бясконцае” (два простыя лікі называюцца
простымі лікамі-блізнятамі, калі іх
розніца роўная 2) (праблема простых
лікаў-блізнятаў) –
выражаюць выказваннi,
прычым
– праўдзiвыя, а
i
– непраўдзiвыя. Што да выказвання
,
дык гэтае сцверджанне было сфармуляванае
П’ерам Фэрма (Pierre
Fermat)
блізу 1630 г. і больш за 360 гадоў было самай
вядомай (але не самай важнай) праблемай
у матэматыцы; за гэтыя гады ёю займаліся
Ойлер (Euler), Ляжандр (Legendre), Дырыхле
(Dirichlet), Ліўвіль (Liouville), Кашы (Couchy), Бернулі
(Bernoulli), Таніяма (Taniyama), Вейль (Weil) і шмат
іншых матэматыкаў і закончаны доказ
вялікай тэарэмы Фэрма ў 1993 г. Вайлсам
(Wiles). Але з-за таго, што гэтак доўга было
невядома, праўдзівая вялікая тэарэма
Фэрма ці не,
усе гэтыя гады не пераставала быць
выказваннем. Праблема простых
лікаў-блізнятаў (выказванне
)
вядомая яшчэ з часоў Эўкліда і не
развязаная дагэтуль, але тым не менш
– выказванне, хоць мы і не ведаем,
праўдзівае яно ці непраўдзівае, гэта
ведае толькі Бог.
Выказванне можа
быць выражанае рознымi сказамi. Напрыклад,
сказ “Янка сябруе з Алесяй” выражае
тое сама выказванне, што i “Алеся сябруе
з Янкам”, а “Янка сябруе з Маняй” –
некаторае iншае выказванне. Сказы “
”
i “
”
выражаюць тое сама выказванне
(непраўдзiвае), менавiта, што
ёсць дадатны лiк, а сказ “
”
выражае некаторае iншае выказванне
(таксама непраўдзiвае).
Не кожны апавядальны
сказ выражае выказванне. Напрыклад,
сказы “ Сёння добрае надвор’е” і
“Дранікі – смачная страва” не выражаюць
выказванняў таму, што паняцці “добрае
надвор’е” і “смачны” суб’ектыўныя.
Сказ “
”
– не выказванне таму, што мы не можам
вызначыць, праўдзiвы ён цi непраўдзiвы,
бо не ведаем, якiя значэннi маюць
i
.
“Матэматычная логіка” – таксама не
выказванне, бо ў iм нiчога не сцвярджаецца
пра матэматычную логіку. Усе пытальныя,
клiчныя і пабуджальныя сказы, а таксама
азначэннi не з’яўляюцца выказваннямі.
Выказваннi будзем
абазначаць лiтарамi. Калi выказванне
праўдзiвае, будзем казаць, што
мае логiкавае значэнне 1 (праўда) i пiсаць
;
калi ж выказванне
непраўдзiвае, будзем казаць, што
мае логiкавае значэнне 0 (няпраўда) i
пiсаць
.
Далей нас будзе цiкавiць толькi логiкавае
значэнне выказвання, а не ягоны сэнс, i
таму мы будзем атаясамляць выказванне
i ягонае логiкавае значэнне.
З выказаванняў з дапамогаю словаў “не”, “i”, “або”, “з... вынікае ...”, “калi i толькi калi” можна складаць новыя выказваннi.