- •Криволинейные интегралы
- •§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
- •Cвойства криволинейного интеграла.
- •§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
- •6. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы
- •§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.
- •§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
- •§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
- •Элементы векторного поля
- •§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
- •§ 2. Градиент
- •§ 3. Векторное поле. Поток векторного поля.
- •§ 4. Формула Остроградского.
- •§ 5. Дивергенция.
- •§ 6. Формула Стокса.
- •§ 7. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •§ 8. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
- •§ 9. Простейшие векторные поля.
§ 5. Дивергенция.
Рассмотрим некоторую т. Р векторного поля и окружим ее замкнутой поверхностью σ, целиком содержащемся в поле.
Вычислим поток вектора через поверхность σ и возьмем отношение этого потока к объему V области V, ограниченной поверхностью σ:
При К>0 это отношение определяет среднюю объемную мощность источника, если поток изнутри поверхности σ меньше нуля, то говорят о мощности стока.
Найдем предел отношения при условии, что область V стягивается в т. Р, т.е.
Если этот предел положителен, то т. Р называется источником,
а если отрицателен, то стоком.
Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. Предел этот называют дивергенцией или расходимостью векторного поля в
т. Р.
Определение. Дивергенцией, или расходимостью векторного поля в т. Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую т. Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в т. Р.
Обозначают
Теорема. Дивергенция векторного поля
выражается формулой ,
где значения частных производных берутся в т. Р.
Доказательство. По формуле Остроградского
Тройной интеграл по теореме о среднем будет равен
,
где Р1 – некоторая точка области V, V – объем этой области
Теорему Остроградского можно записать так:
Теорему можно сформулировать так:
Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью от дивергенции поля.
Свойства дивергенции:
1) div ,
Где С1, С2 – Const
2) Пусть - векторное поле, u(P) – скалярное поле
div
Доказать самостоятельно.
Пример. Найти дивергенцию поля
в т. М(1, 2, 3)
div
§ 6. Формула Стокса.
Для поверхностных интегралов имеет место формула, позволяющая свести вычисление интеграла по поверхности σ к вычислению криволинейного интеграла по контуру L , ограничивающему эту поверхность.
Теорема Стокса. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула
, (*)
где L - граница поверхности σ .
Направление криволинейного интеграла (вдоль L) и поверхностного (по σ) интегрирований согласованы между собой следующим правилом:
е сли человек, идущий по той
z σ стороне поверхности σ, по которой
производится поверхностное
L интегрирование, перемещается
вдоль границы L в направлении
криволинейного интегрирования,
то поверхность должна оставаться
с лева.
0 y
D
x L1
Формула (*) называется формулой Стокса.
Доказательство. Докажем теорему путем сведения поверхностного интеграла к двойному с последующим применением формулы Грина.
Будем считать, что поверхность σ пересекается с любой прямой, параллельной оси oz не более, чем в одной точке. Тогда уравнение этой поверхности будет z = z (x, y). Интегрирование будем вести по верхней стороне поверхности.
Рассмотрим интеграл
Из формулы определения поверхностного интеграла имеем
где γ и β – углы между нормалью и осями oz, oy
т.к. уравнение поверхности σ: z = z (x,y), то проекциями нормального вектора будут , , -1, Направляющие косинусы пропорциональны этим проекциям, то поэтому .
Значит
Приведем этот интеграл к двойному. z заменим на z(x,y) и
Таким образом, полагая , имеем ,
где D – проекция поверхности σ на плоскость xoy.
Применяя формулу Грина, получим
,
где L1 – граница области D. Контур L1 – есть проекция кривой L – границы поверхности σ на плоскость xoy.
Итак, (1)
Аналогично (2)
(3)
Складывая почленно равенства (1), (2), (3) получим формулу Стокса.
Пример. Вычислить
,
где L – линия пересечения поверхностей
, , , ,
z
В
C
A
0 1 у
По формуле Стокса получим
Каждый из них сведем к двойному интегралу
Окончательно J = -14.