- •Криволинейные интегралы
- •§ 1. Криволинейный интеграл первого рода.
- •§ 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •§ 3. Криволинейный интеграл второго рода.
- •Cвойства криволинейного интеграла.
- •§ 4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
- •§ 5. Выражение площади области, ограниченной кривой, через криволинейный интеграл.
- •6. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы
- •§ 1. Поверхностные интегралы первого рода.
- •§ 2. Поверхностные интегралы второго рода
- •§ 3. Вычисление поверхностного интеграла.
- •Элементы векторного поля
- •§ 1. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
- •§ 2. Градиент
- •§ 3. Векторное поле. Поток векторного поля.
- •§ 4. Формула Остроградского.
- •§ 5. Дивергенция.
- •§ 6. Формула Стокса.
- •§ 7. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •§ 8. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.
- •§ 9. Простейшие векторные поля.
§ 9. Простейшие векторные поля.
Простейшими векторными полями являются такие, для которых либо , либо , либо равны нулю и дивергенция и ротор.
1) Векторное поле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубчатым или соленоидальным.
Поясним смысл этого названия.
В озьмем в этом поле какую-нибудь площадку S0 и проведем через каждую точку ее границы векторные линии. Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой. Жидкость при своем течении все время движется по такой трубке, не пересекая ее стенок.
2) Если во всех точках поля ротор равен нулю: , то поле называется безвихревым или потенциальным.
3) Векторное поле, являющееся одновременно и потенциальным и трубчатым, называется гармоническим.
Пример 1. Найти , если
Решение.
Пример 2. Найти , если
Решение.