§4. Вычисление двойного интеграла.

П усть обл. D, лежащая в плоскости oxy такова что всякая прямая, паралелльная оси oy, и проходящая через внутреннюю точку обл., пересекает границу обл. в двух точках и

Такую область можно задать уравнениями:

,

где

Эту область называют правильной в направлении оси oy.

Аналогично определяется область правильная в направлении оси ox.

Область правильная в направлении оси ox и правильная в направлении оси oy называют просто правильной областью.

Функция f(x, y) непрерывна в обл. D

Выражение вида

называют двукратным интегралом от функции f(x, y) по обл. D.

Сначала вычисляют внутренний интеграл

а затем интегрируем внешний интеграл

Пример:

П остроим обл. D

D: x=0 x=3

y=0 y=

x=0 – ось oy

y=0 – ось ox

y= – прямая

Е сли обл. D такова, что одна из функций или не может быть задана одним аналитическим выражением при

Пусть, например

Тогда двукратный интеграл запишется следующим образом:

Свойства двукратного интеграла

1. Если правильную в направлении оси oy обл. D разбить на две обл. и прямой, параллельной оси oy или оси ox, то двукратный интеграл по обл. D будет равен сумме таких же интегралов по областям и , т.е.

Доказательство:

1. пусть x=c ( ) разбивает обл. D на две правильные в направлении оси oy обл. и . Тогда

2. пусть прямая y=h разбивает обл. D на две правильные в направлении оси ox обл. и

: x=a, x=b, , кривая . Пусть уравнение обозначим , где

: x= x=

y=h y=

интеграл разобьём на 3 интеграла

Следовательно

Следствие: Если обл. D можно разбить прямыми, параллельными осям координат, на любое число правильных обл. , то

2. Оценка двукратного интеграла

Пусть m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y) в обл. D, S – площадь обл. D. Тогда имеет место соотношение:

Доказательство: Оценим внутренний интеграл

Тогда

т.е.

Аналогично

Окончательно

3. Теорема о среднем.

Двукратный интеграл от непрерывной функции f(x, y) по обл. D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой т. P обл. D, т.е.

Доказательство: Из свойства 2 следует

Число заключено между наименьшим и наибольшим значениями функции f(x,y) в обл. D. В силу непрерывности

функции f(x,y) она принимает в некоторой т. P обл. D значение, равное числу , т.е.

откуда

Теорема: Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной обл. D равен двукратному интегралу от этой функции по обл. D, т.е.

Доказательство: Разобьём обл. D прямыми, параллеьными осям координат на n правильных областей . На основании свойства 1 двукратного интеграла имеем:

Каждое из слогаемых заменим по теореме о среднем двукратного интеграла

Т

*

огда получим:

где – некоторая т. обл.

*

Вычислим предел левой и правой части равенства . Т. к. - есть число, то

О кончательно

Замечание 1.

Если f(x, y) в , то

V – объём тела, ограниченного поверхностью z= f(x, y), пл. z=0 и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси oz, а направляющей служит граница .

Вычислим объём этого тела пользуясь формулой объёма тела по площадям параллельных сечений (приложение определённого интеграла)

1

Получили геометрическое подтверждение равенства

Замечание 2.

Пусть обл. D правильная в направлении оси ox

D:

где

Пример: Изменить порядок интегрирования

Построим обл. D: x=0 x=1

y= y=

y= x=

y= x=

0≤ y ≤1

Замечание 3. Если обл. D не является правильной ни в направлении оси ox, ни в направлении оси oy, то следует разбить обл. D на правильные обл. прямыми параллельными оси oy или оси ox.

Замечание 4. В дальнейшем скобки стоящие в двукратном интеграле для внутреннего интеграла можно опустить, то есть

писать так