- •Конспект лекций по моделированию систем
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Классификация моделей
- •§ 3. Этапы составления и исследования моделей.
- •§ 4. Имитационное моделирование.
- •§ 5.Элементы теории вероятности.
- •Способы вычисления вероятности
- •§ 6.Примеры основных случайных величин и их характеристик
- •§ 7.Построение датчика псевдослучайных чисел.
- •§ 7.1 Датчики для равномерного закона распределения
- •§ 7.2 Построение датчика псевдослучайных чисел для любого закона распределения
- •§ 7.3 Построение датчика по показательному закону распределения
- •§ 7.4 Построение датчика с помощью таблицы квантилей
- •§ 8. Потоки случайных событий. Пуассоновский поток.
- •§ 9.Связь потока Пуассона с показательным законом распределения
- •§ 10. Минимизация конечных автоматов.
- •§ 11. Моделирование работы конечного автомата
- •§12. Моделирование работы системы массового обслуживания
- •§ 13. Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •§ 14.Понятие зависимых и независимых случайных величин
- •§15 Условное математическое ожидание линии регрессии.
- •§16 Числовые характеристики двумерных случайных величин Корреляционный момент
- •§17 Виды зависимости между случайными величинами.
- •§18 Нахождение на практике линейной регрессии.
§ 8. Потоки случайных событий. Пуассоновский поток.
Поток событий – это последовательность псевдослучайных однотипных событий в случайные моменты времени.
Поток называется простейшим или Пуассоновским, если он обладает следующими свойствами:
одинарность – события потока следуют по одиночке;
стационарность – вероятность того, что за промежуток Δt произойдет ровно m событий потока, одно и тоже независимо от того, где Δt берется;
о тсутствие последействия – число событий на промежутке ΔT2 не зависит от того сколько событий произошло на промежутке ΔT1 (нынешняя ситуация не влияет на последующую)
Теорема:
,
где λ – среднее число событий потока за единицу времени ,
M – математическое ожидание,
- вероятность того, что за ΔT произойдет m событий.
Доказательство:
Формула Бернулли
А – случайное событие, Р(А),
Докажем, что простейший поток всегда будет Пуассоновским.
Рассмотрим ΔT
- среднее число событий за
Рассмотрим случайную величину ξ – число событий потока на интервале
-
ξ
0
1
P
q
p
В силу одинарности таблица ограничена двумя значениями.
Определим q, p
;
-
ξ
0
1
P
Эксперимент в силу стационарности повторяется n – раз.
=[Пусть: n→∞. В пределе формула Бернулли перейдет в формулу Пуассона. λΔT=a.]=
=[Поделим на n]=
Теорема доказана.
§ 9.Связь потока Пуассона с показательным законом распределения
Пусть существует Пуассоновский поток
Δ t – непрерывная случайная величина
Теорема:
Промежуток времени между двумя соседними событиями Пуассоновского потока есть случайная величина, имеющая показательный закон распределения с тем же показателем λ – что и Пуассоновского потока и наоборот.
Дано: поток простейший.
Доказательство:
Δt - промежуток времени между двумя соседними событиями имеет показательный закон распределения с тем же параметром λ.
Теорема доказана.
§ 10. Минимизация конечных автоматов.
- два состояния конечного автомата эквивалентны, если при воздействии на автомат любой последовательности входных сигналов получаем одинаковую последовательность выходных сигналов.
Алгоритм эквивалентных пар
Алгоритм начинается с построения таблицы эквивалентных пар
Автоматная таблица:
-
Z
S
α
β
γ
α
β
γ
1
2
2
5
1
0
0
2
1
4
4
0
1
1
3
2
2
5
1
0
0
4
3
2
2
0
1
1
5
6
4
3
1
0
0
6
8
9
6
0
1
1
7
6
8
2
1
0
0
8
4
4
7
1
0
0
9
7
9
7
0
1
1
По автоматной таблице составляем таблицу пар:
Таблица 1.
|
|
α |
β |
γ |
|
1,3 |
2,2 |
2,2 |
5,5 |
* |
1,5 |
2,6 |
2,4 |
5,3 |
* |
1,7 |
2,6 |
2,2 |
5,8 |
|
1,8 |
2,4 |
2,4 |
5,7 |
|
2,4 |
1,3 |
4,2 |
4,2 |
+ |
2,6 |
1,8 |
4,9 |
4,6 |
º |
2,9 |
1,7 |
4,9 |
4,7 |
* |
3,5 |
2,6 |
2,4 |
5,3 |
* |
3,7 |
2,6 |
2,2 |
5,8 |
|
3,8 |
2,4 |
2,4 |
5,7 |
+ |
4,6 |
3,8 |
2,9 |
2,9 |
º |
4,9 |
3,7 |
2,9 |
2,7 |
|
5,7 |
6,6 |
4,2 |
3,8 |
* |
5,8 |
6,4 |
4,4 |
3,7 |
º |
6,9 |
8,7 |
9,9 |
6,7 |
* |
7,8 |
6,4 |
2,4 |
8,7 |
Таблица 2.
1~3 |
1~3~8 |
1 |
1~8 |
2~4 |
2 |
2~4 |
5~7 |
3 |
3~8 |
6 |
4 |
5~7 |
9 |
5 |
Алгоритм минимизации:
Составление таблицы пар, для которых выходные сигналы одинаковы, и заполнение этой таблицы парами, которые переходят в пары первого столбца при первом входном сигнале.
Отмечаются строчки таблицы, в которых есть различимые пары, отсутствующие в первом столбце. Различимая пара – это пара, в которой два разных состояния. Отметить строчку – это, значит, отметить пару первого столбца этой строки. (Этот шаг повторяется в цикле)
Отмечают строчки, в которых есть пары отмеченные в первом столбце. Эквивалентными будут те пары, которые остались не отмеченные.
Составим автоматную таблицу для состояний 1-5.
Таблица. 3
α
β
γ
α
β
γ
1
2
2
3
1
0
0
2
1
2
2
0
1
1
3
4
2
1
1
0
0
4
1
5
4
0
1
1
5
3
5
3
0
1
1
Смотрим из табл.2 какие цифры соответствуют.
Из табл.1 выбираем по полученным цифрам строки и по табл.2 в табл.3 записываем полученные состояния.