- •Конспект лекций по моделированию систем
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Классификация моделей
- •§ 3. Этапы составления и исследования моделей.
- •§ 4. Имитационное моделирование.
- •§ 5.Элементы теории вероятности.
- •Способы вычисления вероятности
- •§ 6.Примеры основных случайных величин и их характеристик
- •§ 7.Построение датчика псевдослучайных чисел.
- •§ 7.1 Датчики для равномерного закона распределения
- •§ 7.2 Построение датчика псевдослучайных чисел для любого закона распределения
- •§ 7.3 Построение датчика по показательному закону распределения
- •§ 7.4 Построение датчика с помощью таблицы квантилей
- •§ 8. Потоки случайных событий. Пуассоновский поток.
- •§ 9.Связь потока Пуассона с показательным законом распределения
- •§ 10. Минимизация конечных автоматов.
- •§ 11. Моделирование работы конечного автомата
- •§12. Моделирование работы системы массового обслуживания
- •§ 13. Двумерные случайные величины и их законы распределения
- •§ 14.Понятие зависимых и независимых случайных величин
- •§15 Условное математическое ожидание линии регрессии.
- •§16 Числовые характеристики двумерных случайных величин Корреляционный момент
- •§17 Виды зависимости между случайными величинами.
- •§18 Нахождение на практике линейной регрессии.
§ 6.Примеры основных случайных величин и их характеристик
Случайная величина X, закон Бернулли
-
X
0
1
2
k
n
P
X – число появлений события А из n независимых опытов.
Закон распределения Пуассона
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
n |
P |
|
|
|
… |
… |
|
λ – среднее число соединений в единицу времени.
П оказательный закон распределения непрерывной случайной величины.
- среднее время ожидания, f(x) – функция плотности.
Равномерный закон распределения
Нормальный закон распределения ( f (x, m, σ) )
,
X=x1+x2+x3+…+xn ,
Если n достаточно велико, то X имеет нормальный закон распределения. При моделировании достаточно n=12.
Закон треугольника.
Площадь под кривой для плотности распределения равна единице.
,
Применяют в тех случаях, если кривая похожа на треугольник.
§ 7.Построение датчика псевдослучайных чисел.
Те числа, которые получаются с помощью датчика – псевдослучайные числа.
Массивы чисел, которые получаются с помощью генераторов - псевдослучайны, т.к. они получены с помощью определенных алгоритмов.
x=rand(m,n), 0≤xij≤1 распределена по равномерному закону.
§ 7.1 Датчики для равномерного закона распределения
x1=0,5 {} – другая часть числа
x2={11x1+π} {π} = 0,1415926…
x3={11x2+π}
Если увеличивать закон выборки
Чтобы построить гистограмму нужно использовать команду
hist(x,100), где x – выборка,
100 – количество интервалов, на которых находится выборка.
§ 7.2 Построение датчика псевдослучайных чисел для любого закона распределения
Теорема: Пусть ξ – случайная величина распределенная по закону y=Fξ(x).
, η - случайная величина, распределенная от 0 до 1.
Утверждается, что случайная величина η распределена по равномерному закону.
Доказательство:
ξ – равномерный закон распределения
Возьмем произвольный интервал и найдем вероятность попадания в этот интервал, причем вероятность зависит от длины интервала. Это и будет означать, что случайная величина η распределена по равномерному закону.
Следствие:
Если , то .
§ 7.3 Построение датчика по показательному закону распределения
ξ – показательный закон распределения, если
При x ≥ 0, .
Генерируем по равномерному закону распределения
§ 7.4 Построение датчика с помощью таблицы квантилей
Очень часто при построении датчиков обратную функцию для функции распределения найти невозможно или очень трудно. Тогда используют квантили.
P – это обозначение некоторой вероятности, она выражается числом на промежутке (0,1)
Квантиль значения Р – это значение функции в точке .
Построение таблицы квантилей:
Отрезок [0,1] разбивается на равных N частей
всего (N+1) точек
И з-за практических соображений а и b выбирают такие, что все случайные значения заключены между ними.
Алгоритм построения квантилей:
Генерируется случайное число по равномерному закону
Определяется номер интервала.
Положим , находим i – номер интервала
Находим пару квантилей, которые являются границами найденного интервала
Генерируем случайную величину t по равномерному закону
, где r1 – равномерно распределенная случайная величина на промежутке [0,1].