Постановка задачи
Независимые выборки {Х1} и {X2} извлечены из генеральных совокупностей с неизвестными законами распределения. Объемы выборок n1 и n2, соответственно. Значения элементов выборок представлены в ранговой шкале. Требуется проверить, различаются ли эти генеральные совокупности между собой?
Проверяемые гипотезы:
Н0 – выборки принадлежат к одной генеральной совокупности.
Н1 – выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Для проверки таких гипотез применяется Т–критерий Манна-Уитни.
Сначала из двух выборок составляется объединенная выборка {X}, элементы которой ранжируются. Затем находится сумма рангов, соответствующих элементам первой выборки. Эта сумма и является критерием для проверки гипотез.
Т = Сумма рангов первой выборки (3.11)
Для независимых выборок, объемы которых больше 20, сумма величина Т подчиняется нормальному распределению, математическое ожидание и СКО которого равны:
. (4)
Поэтому границы критической области находятся по таблицам нормального распределения.
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: 1 = 2 = 20 – 1 = 19, Т = 339, = 410, = 37. Для = 0,05 получим: Тлев = 338, Тправ = 482.
Значение критерия находится выходит за левую границу критической области, поэтому принимается гипотеза Н1: генеральные совокупности имеют различные законы распределения. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки меньше.