§ 3. 2. Числовые характеристики статистического ряда

Многие статистические проце6дуры используют выборочные оценки для математического ожидания и дисперсии (или СКО) генеральной совокупности.

Выборочное среднее ( ) есть среднее арифметическое всех элементов простого статистического ряда:

. (3.2)

Для нашего примера  = 37,05 (м/с).

Выборочное среднее – это наилучшая оценка математического ожидания (М) генерального среднего.

Выборочная дисперсия s² равна сумме квадратов отклонений элементов от выборочного среднего, поделенной на n – 1 :

. (3.3)

В нашем примере s² = 25,2 (м/с)².

Обратите внимание, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки n, а n-1. Это связано с тем, что при вычислении отклонений вместо неизвестного математического ожидания используется его оценка – выборочное среднее.

Выборочная дисперсия – это наилучшая оценка генеральной дисперсии (²).

Выборочное среднеквадратическое отклонение (s) – это квадратный корень из выборочной дисперсии:

. (3.4)

Для нашего примера s = 5,02 (м/с). 

Выборочное среднеквадратическое отклонение – это наилучшая оценка генерального СКО ().

При неограниченном увеличении объема выборки все выборочные характеристики стремятся к к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.

 М, s²  ², s   при n  .

Для вычисления выборочных характеристик используют компьютерные формулы. В приложении excel эти вычисления выполняют статистические функции СРЗНАЧ, ДИСП. СТАНДОТКЛОН.

§ 3. 3. Интервальная оценка

Все выборочные характеристики являются случайными величинами. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные характеристики являются лишь оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Недостатки точечного оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая числовой интервал, внутри которого с заданной вероятностью Р_д находится истинное значение оцениваемого параметра.

Пусть U_Г - некоторый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.).

Интервальной оценкой параметра U_Г называется интервал (U₁, U₂), удовлетворяющий условию

P(U₁ < U_Г < U₂) = P_д.  (3.5)

Вероятность Р_д называется доверительной вероятностью.

Доверительная вероятность Рд – вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится внутри указанного интервала.

При этом интервал (U₁, U₂) называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.

Часто вместо доверительной вероятности используют связанную с ней величину = 1 – Р_д, которая называется уровнем значимости.

Уровень значимости – это вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра находится за пределами доверительного интервала.

Иногда и Р_ выражают в процентах, например, 5% вместо 0,05 и 95% вместо 0,95.

При интервальной оценке сначала выбирают соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра.

Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.

1. Чем ниже уровень значимости (чем больше Р_д), тем «шире» интервальная оценка. Так, если при уровне значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < М < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < М < 40,25.

2. Чем больше объем выборки n, тем «уже» интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5 – процентная оценка генеральной средней (=0,05), полученная по выборке из 20 элементов, есть

34,7 < М < 39,4. Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < М < 38,6.

В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего признака, который распределен в генеральной совокупности по нормальному закону.