4.5. Закон больших чисел

Так называются теоремы, дающие условия, при которых арифметическое среднее сл. величин по вероятности сходится к арифметическому среднему их математических ожиданий:

Теорема 4 (закон больших чисел). Если последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин такова, что то

.

Доказательство. Заметим прежде всего, что все одинаково распределены, потому у них у всех одно и то же математическое ожидание и одна и та же дисперсия. Теорему докажем опираясь на теорему 1. Доказываемый предел можно переписать в виде . Воспользуемся неравенством Чебышева: , так как конечная сумма независимых сл. величин, умноженная на число , есть сл. величина с математическим ожиданием и дисперсией

.

Замечание. Теорема 4 имеет место и без требования существования конечных дисперсий. Просто доказательство её будет иным.

Теорема 5. Если последовательность независимых сл. величин такова, что существуют и , то .

Это тоже закон больших чисел, но для произвольной последовательности сл. величин, произвольной в том смысле, что не утверждается одинаковое распределение всех сл. величин.

Доказательство. По неравенству Чебышева (4.4) имеем , т.к.

По теореме Штольца

(по условию). Теорема доказана.

В основе этой теоремы лежит известная теорема Чебышева П.Л.(1880 г.):

Пусть последовательность попарно независимых сл. величин имеет математические ожидания и дисперсии , ограниченные в совокупности числом В, то есть , к=1,2,3,… Тогда .

Пример 2. Пусть μ – число успехов в серии из n независимых испытаний по схеме Бернулли, величина фиксирует успех или неудачу в –ом испытании по схеме Бернулли (оно принимает значение 1 или 0 соответственно). Тогда в серии испытаний число успехов равно , – частота успехов в n независимых испытаниях. Известно, что .

По доказанному

при Последнее соотношение есть теорема Бернулли.

Ранее при определении вероятности мы говорили о приближении в каком-то смысле частот событий к вероятностям этих событий. Теперь этот смысл понятен – последовательность частот сходится к вероятности события по вероятности.

4.6. Усиленный закон больших чисел

Поскольку в законе больших чисел речь идет о сходимости по вероятности с ростом числа n среднего арифметического сл. величин к некоторой постоянной величине, то в каждом отдельном эксперименте (при произвольном ω) закон больших чисел этой сходимости не гарантирует. А на практике мы встречаемся со сл. величинами именно в отдельных экспериментах.

Усиленный закон больших чисел – это одна из форм закона больших чисел, в которой вместо сходимости по вероятности утверждается сходимость почти наверное (с вероятностью 1).

Тогда те ω, для которых закон больших чисел не имеет места, образуют множество, вероятностная мера которого равна 0, т.е. он имеет место для почти всех ω.

Приведем прежде всего неравенство Колмогорова (без доказательства).

Теорема 6. Пусть – независимые сл. величины. Если , тогда для любого числа a>0 справедливо соотношение

(4.5)

Неравенство (4.5) называют неравенством Колмогорова.

Теорема 7 (усиленный закон больших чисел). Если – последовательность независимых сл. величин, для которых и ряд сходится, то с вероятностью 1 имеет место сходимость при .

Для доказательства теоремы понадобится

Лемма: Если и если , то

Докажем её. Обозначим через событие , ε > 0 – некоторое число. Согласно замечанию к теореме Бореля – Кантелли, условие означает, что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число событий . Следовательно, начиная с некоторого номера ( ), и этот номер с вероятностью 1 существует. Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Обозначим Так как (по свойству sup), то на основании неравенства Колмогорова имеем:

Просуммируем полученное неравенство: . Покажем, что последовательность удовлетворяет условиям леммы, для чего в последнем неравенстве изменим порядок суммирования: и ряд сходится по условию. Здесь определяется из соотношения Последнее неравенство получается из следующих оценок: из условия получаем

Тогда с вероятностью 1 , начиная с некоторого номера, и следовательно

Теорема 8. Если – последовательность независимых одинаково распределенных сл. величин, для которых математические ожидания конечны, n=1,2,…, то с вероятностью 1

Если же величины не имеют конечного математического ожидания, то последовательность с вероятностью 1 не ограничена.

Доказательство. Пусть , n = 1, 2, … Поскольку

то по теореме Бореля – Кантелли событие происходит лишь конечное число раз, следовательно с вероятностью 1 можно утверждать что начиная с некоторого номера . Иначе говоря,

Далее имеем . Следовательно, где .

Для последовательности проверим условие теоремы 7:

так как , ( ). Тем самым показано, что выполнены условия теоремы 7, а потому имеет место сходимость почти наверное к m при n→∞. Теорема доказана.

Обе теоремы принадлежат А.Н.Колмогорову.