- •Тема I – линейная алгебра
- •1. Матрицы и определители Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическим занятиям
- •Тема II – аналитическая геометрия
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Тема III – основы математического анализа
- •8. Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •11. Производная функции Задания для подготовки к практическому занятию
- •1. Дифференциал функции
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •14. Функции нескольких переменных Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задачи к практическому занятию
Задания к практическим занятиям
1. Найдите обратную матрицу А-1, если
а) ; б) ; в)
2. Как исправить ошибочно найденные матрицы А-1 из задания п2?
3. Решите систему, используя обратную матрицу:
;
4. Решите системы линейных уравнений, используя метод Гаусса:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е)
5.Решить системы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е)
Тема II – аналитическая геометрия
4-5. Векторы
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §5 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Примеры.
Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(2;5)
1. Найти координаты векторов .
Решение: Для того, чтобы найти координаты вектора, следует из координат конца вектора (вторая указанная в его названии точка) вычесть координаты начала (первая точка):
; ;
2 . Найти четвертую вершину параллелограмма ABCD.
Решение: Для того, чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы противолежащие стороны были параллельны и равны по длине. Иными словами, векторы, образующие противолежащие стороны, должны быть равны: . Для этого должны быть равны координаты этих векторов: ,
следовательно, , откуда .
Таким образом, искомая точка D(0;4)
Даны векторы: .
3. Найти скалярное произведение векторов и ,
Решение: Найдем координаты указанных векторов:
,
.
Воспользуемся координатным выражением скалярного произведения векторов:
4. Найти векторное произведение векторов и ,
Решение: Воспользуемся координатным выражением векторного произведения векторов:
.
Таким образом,
5 . Найти стороны и углы треугольника, образованного данными векторами, отложенными из одной точки.
Решение: Стороны треугольника как длины образующих его векторов можно найти, зная координаты этих векторов. Найдем предварительно координаты вектора , образующего третью сторону треугольника. По правилу вычитания векторов, . Теперь воспользуемся координатным выражением модуля вектора:
, ,
.
Далее, угол между векторами, зная их координаты, мы можем найти при помощи скалярного произведения.
Угол А треугольника образован векторами , следовательно,
.
Угол В образован векторами , следовательно,
.
Угол С образован векторами , следовательно,
Заметим, что все углы данного треугольника острые; если один из углов тупой, то соответствующий косинус отрицателен.
6. Найти площадь этого треугольника.
Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения. Согласно ему, площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов .
Векторное произведение векторов равно
.
Модуль найденного векторного произведения равен
.
Следовательно, площадь треугольника АВС равна
Вопросы и задачи
п1. В треугольнике АВС сторона АВ разделена точками М и N на три равные части. Найти вектор , если .
п2. Дано: . Доказать, что ABCD – трапеция. (Указание: найти вектор и доказать, что )
п3. Даны точки: А(0;2;3), В(-1;2;5), С(4;-2;-3).
а) Найти координаты векторов .
б) Найти координаты точки D, так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом
п4. Найти скалярное произведение векторов и , если
п5. Даны 2 вектора: . Будучи отложены из одной точки, они образуют две стороны треугольника. Найти:
а) длины сторон этого треугольника, б) углы этого треугольника
п6. Найти векторное произведение векторов и , если
п7. Найти площадь треугольника из задачи п5.
п8. Пусть даны два вектора на плоскости: .
а) запишите в координатном выражении условие коллинеарности (параллельности) этих векторов.
б) запишите в координатном выражении условие перпендиклярности этих векторов.
в) существует ли векторное произведение этих векторов? (если да – найдите, если нет – объясните)