- •Тема I – линейная алгебра
- •1. Матрицы и определители Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическим занятиям
- •Тема II – аналитическая геометрия
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задания к практическому занятию
- •Тема III – основы математического анализа
- •8. Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •Задания для подготовки к практическому занятию
- •Вопросы и задачи
- •Задачи к практическому занятию
- •11. Производная функции Задания для подготовки к практическому занятию
- •1. Дифференциал функции
- •2. Производные и дифференциалы высших порядков
- •14. Функции нескольких переменных Задания для подготовки к практическому занятию
- •Задачи к практическому занятию
Задания к практическому занятию
1. Вычислить существующие произведения матриц из задания п6
2. Выполнить действия, если это возможно:
а) А3, где ; б)2А2+3А+5Е, где ;
в) А+В; А+ВТ; АТ+В; АВ; ВА, где ;
3. Вычислить определители:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж)
4. Вычислить определитель. При каком значении параметра он равен 0?
а) ; б)
2-3. Обратная матрица. Матричные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений.
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте §3,4 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Примеры.
Даны матрицы:
1. Существуют ли обратные для данных матриц? Если да, найдите и выполните проверку.
Решение: Матрица А квадратная, ее определитель равен , следовательно, А-1 существует. Матрица В квадратная, но ее определитель , следовательно, В-1 не существует. Матрица С размера 32, не квадратная, следовательно, С-1 не существует.
Найдем обратную матрицу для матрицы А. Прежде всего, транспонируем матрицу А:
.
Составим присоединенную матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы АТ:
Вычислим обратную матрицу по формуле
.
Проверим: произведение матрицы и ее обратной должно быть единичной матрицей
,
что и требовалось доказать, т.е. матрица А-1 найдена верно.
Замечание: удобнее перемножать целочисленные матрицы, поэтому мы сначала перемножили матрицы и А, а результат домножили на дробь. Этим приемом мы будем пользоваться и далее.
2. Решить матричные уравнения АХ=В и YА=В.
Решение: Уравнение АХ=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Х=А-1В. Получаем:
Уравнение YА=В, если матрица А имеет обратную, решается по формуле Y=ВА-1. Получаем:
3. Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения:
Решение: Система линейных уравнений эквивалентна матричному уравнению АХ=В, где Х – столбец неизвестных; А – матрица коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений (необходимо следить за очередностью неизвестных в записи уравнения; если неизвестной в уравнении нет, значит, соответствующий коэффициент равен 0); В – столбец свободных коэффициентов:
; ;
4. Решить систему из п3 при помощи правила Крамера
Решение: Прежде всего, найдем определитель системы:
,
следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Для определения значения переменной х вычислим определитель , полученный из заменой столбца коэффициентов при переменной х на столбец свободных коэффициентов:
, значит, .
Аналогично, определитель получаем из заменой столбца коэффициентов при переменной y на столбец свободных коэффициентов:
,
.
Далее, определитель получаем из заменой третьего столбца на столбец свободных коэффициентов:
,
Таким образом, решением системы является тройка чисел (-1;1;1). Подстановкой в уравнения системы убеждаемся, что решение найдено верно.
Вопросы и задачи
п1. Существуют ли обратные матрицы для матриц
, , ?
п2. Проверьте, является ли А-1 обратной матрицей для матрицы А:
а) , ; б) ,
п3. Найдите обратную матрицу для матрицы . Проверьте результат.
п4. Решите матричные уравнения: а) АХ=В; б) ХА=В,
если ,
п5. Запишите систему линейных уравнений в виде матричного уравнения:
а) ; б)
п6. Решите систему а) из предыдущего задания при помощи обратной матрицы
п7. Решите, используя правило Крамера:
а) ; б)
п8. Можете ли вы привести пример системы линейных уравнений, которая имела бы ровно 2 решения?