- •Содержание
- •Введение
- •1. Цель и задачи курсовой работы
- •Краткие теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения движения
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Общие теоремы динамики
- •Теорема о движении центра масс
- •Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Методы аналитической механики
- •2.3.1 Общее уравнение динамики
- •2.3.2 Уравнения Лагранжа 2-го рода
- •Задания
- •Методика выполнения курсовой работы
- •Требования к содержанию и структуре курсовой работы
- •Требования к оформлению курсовой работы
- •Критерии оценки выполненной курсовой работы
- •Список литературы
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси
Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси по сути является вторым законом динамики для вращательного движения:
, (2)
Здесь Jz – момент инерции тела относительно оси вращения Oz (характеристика инертности тела при вращательном движении); угловое ускорение тела, а – сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, относительно оси вращения.
Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
Плоскопараллельное движение твердого тела – сложное движение, которое складывается из поступательного движения вместе с полюсом (в качестве полюса выбирается центр масс) и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Для описания поступательной части движения – используются дифференциальные уравнения движения центра масс (в плоскости xCy), а для описания вращательной части движения дифференциальное уравнение вращательного движения относительно оси Cz, проходящей через центр масс. Таким образом, имеем:
;
; (3)
,
здесь JСz – момент инерции тела относительно оси Oz , а – сумма моментов всех внешних сил, приложенных к телу, относительно оси Cz.
Общие теоремы динамики
Для решения задач во многих случаях оказывается более удобным пользоваться так называемыми общими теоремами динамики, являющимися следствиями основного уравнения динамики. Эти теоремы:
Устанавливают наглядные зависимости между основными динамическими характеристиками движения материальных тел.
Позволяют изучать отдельные стороны явления, а не в целом.
Избавляют, в некоторых случаях, от необходимости интегрировать дифференциальные уравнения движения, упрощая процесс решения.
Теорема о движении центра масс
Формулировка теоремы:
Центр масс механической системы движется так, как двигалась бы точка с массой, равной массе механической системы, при действии на нее всех внешних сил, приложенных к системе.
Аналитические выражения теоремы – это уравнения (1). При решении задач часто в сочетании с уравнениями (1) используются формулы для нахождения координат центра масс системы по координатам ее точек или центров масс отдельных частей системы:
;
; (4)
,
где mν – масса ν-й точки или части механической системы.
Путем дифференцирования по времени уравнений (4) получаются связи между проекциями на координатные оси скорости центра масс системы и одноименными проекциями скоростей точек (или скоростей центров масс отдельных частей) системы:
;
; (5)
.
Если продифференцировать по времени последние уравнения еще раз получаются связи между проекциями на координатные оси ускорения центра масс системы и одноименными проекциями ускорений точек (или ускорений центров масс отдельных частей) системы:
;
; (6)
.