- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.Системы линейных уравнений
- •2.Определители
- •3.Алгебра матриц
- •4.Линейная зависимость. Базис системы векторов
- •5.Прямые на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Дополнительные формулы.
- •6.Векторная геометрия
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения:
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения.
- •7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •8.Преобразование координат
- •9.Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Определение вида кривой второго порядка
- •Индивидуальные задания для студентов
7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0. (1)
Коэффициенты этого уравнения определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.
Нормалью, или нормальным вектором к плоскости называется любой вектор, ортогональный к этой плоскости.
Вектор, нормальный к плоскости, заданной уравнением (1), это вектор
= (A, B, C). (2)
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М(x0, y0, z0) и имеющей нормаль = (A, B, C):
A(x – x0)+ B(y – y0) + C(z – z0) = 0. (3)
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2), М3(x3, y3, z3):
= 0. (4)
Расстояние от точки М(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:
. (5)
Уравнение прямой в пространстве
Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей. В этом случае она задается системой уравнений, определяющих эти плоскости:
(6)
Каноническое уравнение прямой:
. (7)
Здесь М(x0, y0, z0) – точка, через которую проходит прямая, (l, m, n) – направляющий вектор прямой.
Это уравнение на самом деле представляет собой систему двух уравнений, как и в формуле (6). Один или два знаменателя могут быть равны 0, это будет означать, что соответствующие числители приравниваются к 0.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1, y1, z1), М2(x2, y2, z2):
. (8)
Пример 1.7.1. В пространстве заданы точки A(3, 2, –1), В(2, –1, 2) С(1, 3, 4), D (4, –5, 5). а) постройте уравнение плоскости (АВС); б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (АВС); в) постройте уравнение прямой АС; г) постройте уравнение перпендикуляра к плоскости (АВС), проходящего через точку D.
Решение. а) Воспользуемся формулой (4):
= 0;
= 0;
(x – 3)( –15 – 3) – (y – 2)( –5 + 6) + (z + 1)( –1 – 6) = 0;
–18(x – 3) – (y – 2) – 7(z + 1) = 0;
–18x + 54 – y + 2 – 7z – 7 = 0;
–18x – y – 7z + 49 = 0;
18x + y + 7z – 49 = 0.
б) Воспользуемся формулой (5):
.
в) Воспользуемся формулой (8):
;
.
г) Направляющим вектором перпендикуляра является нормаль к плоскости; из пункта а) это = (18, 1, 7). Воспользуемся формулой (7):
.
У п р а ж н е н и я
1.7.1. В пространстве даны точки А(1; 3; 0), B(–1; 2; 1), C(–2; 1; 3), D (2; 2; 1).
а) Постройте уравнение плоскости АВС;
б) Постройте уравнение прямой ВС;
в)Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;
г) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС;
д) Постройте уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС.
8.Преобразование координат
Ч асто для определения вида и параметров фигуры, задаваемой уравнением в некоторой системе координат, бывает удобно перейти к другой системе координат. Это может упростить уравнение.
Простейшее преобразование – это параллельный перенос координатных осей. Пусть новые координатные оси x1 и y1 имеют в старых координатах уравнения x = a, y = b. Тогда новые координатные оси выражаются через старые формулами x1 = x – a, y1 = y – b, а старые через новые формулами x = x1+ a, y = y1+ b. Например, уравнение окружности с центром в точке А(a, b) и радиусом r в старых координатах имеет вид (x – a)2 + (y – b)2 = r2, а в новых x12 + y12 = r2.
Другой вид преобразований системы координат – это поворот координатных осей вокруг начала координат на угол (угол отсчитывается против часовой стрелки). Формулы перехода от старой системы к новой задаются уравнениями
Формулы перехода от новой системы к старой задаются уравнениями
Можно использовать и косоугольную систему координат, в которой оси расположены под произвольным углом и длины единичных отрезков по осям абсцисс и ординат различны. В такой системе прямые линии и многие другие фигуры задаются уравнениями тех же типов, что и в прямоугольной, но параметры уравнений изменяются; становится весьма проблематично определять расстояния и углы. Но использование косоугольной системы координат позволяет упрощать преобразование уравнений в тех случаях, когда требуется определить только тип фигур, задаваемых этими уравнениями. Преобразование координат производится по формулам
где ad – bc 0.
С овершенно другой вид системы координат, отличный от декартовой, – это полярная система координат. Она задается точкой (полюсом) О и полярной осью – лучом, выходящим из полюса. Положение любой точки М на плоскости задается углом , который луч ОМ образует с полярным лучом, и радиус-вектором r – длиной отрезка ОМ. Эти два параметра полностью определяют положение точки М. При этом радиус-вектор определяется однозначно, а угол с точностью до периода 2: этот период соответствует полному обороту вокруг полюса, приводящему к тому же направлению. Например, уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R в полярной системе имеет вид r = R.
От декартовой к полярной системе координат можно перейти по формулам x = r cos , y = r sin . Обратный переход производится с помощью формул
r = ;