- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.Системы линейных уравнений
- •2.Определители
- •3.Алгебра матриц
- •4.Линейная зависимость. Базис системы векторов
- •5.Прямые на плоскости
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Дополнительные формулы.
- •6.Векторная геометрия
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения:
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения.
- •7.Прямые и плоскости в пространстве Уравнение плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •8.Преобразование координат
- •9.Кривые второго порядка
- •Гипербола
- •Парабола
- •Определение вида кривой второго порядка
- •Индивидуальные задания для студентов
5.Прямые на плоскости
Задача аналитической геометрии – применение к геометрическим задачам координатного метода. Тем самым задача переводится в алгебраическую форму и решается средствами алгебры.
В прямоугольной декартовой системе координат каждой точке соответствует пара чисел – ее координаты.
Рассмотрим произвольное уравнение от двух переменных F(x, y) = 0. Изобразив на плоскости точки координаты которых (x, y) удовлетворяют уравнению, получим некоторую фигуру. Исходное уравнение является уравнением этой фигуры. Вместо уравнения может фигурировать неравенство или другое условие – каждое такое условие всегда можно записать в виде уравнения.
Пересечение двух фигур задается системой уравнений, определяющих эти фигуры.
Расстояние между двумя точками M1(x1, y1) и M1(x2, y2) определяется по формуле
. (1)
Пример 1.4.1. Построить уравнение окружности с центром в точке А(a, b) и радиусом r.
Обозначим произвольную точку окружности через M(x, y), тогда, согласно определению, окружность задается уравнением АМ = r. Воспользовавшись формулой (1), получаем алгебраическое уравнение , или
. (2)
Это и есть искомое уравнение окружности.
Уравнение прямой на плоскости
Прямую на плоскости можно задавать уравнениями разных видов. Для решения задач следует использовать уравнение, наиболее удобное для данной задачи.
Уравнение с угловым коэффициентом:
y = kx + b. (3)
В этом уравнении угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Недостаток этого уравнения: им невозможно задать вертикальную прямую x = a.
Общее уравнение прямой:
Ax + By + C = 0. (4)
Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.
Уравнение прямой в отрезках:
. (5)
Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1, y1) и M1(x2, y2):
. (6)
В этом уравнении один из знаменателей может оказаться равным 0. Тогда общее уравнение прямой получаем, приравнивая к 0 соответствующий числитель (на другую часть уравнения не обращаем внимания).
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M(x0, y0) с угловым коэффициентом k:
y – y0 = k(x – x0). ( 7)
Каноническое уравнение прямой:
. (8)
Здесь M(x0, y0) – точка, через которую проходит прямая, а (m, n) – направляющий вектор, задающий направление прямой.
Любой из приведенных видов уравнений легко преобразовать в любой другой.
Дополнительные формулы.
Угол между двумя прямыми.
Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k1 и k2. Тогда угол между ними определяется из условия
. (9)
Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2:
k1 k2 = –1. (10)
Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2:
k1 = k2 . (11)
Расстояние от точки M(x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0:
. (12)
Площадь треугольника АВС с вершинами А(x1, y1), В(x2, y2), С(x3, y3):
. (13)
Пример 1.4.2. Даны три точки А(3; 1), В(–2; 3), С(1; –2). а) Построить уравнение прямой АВ; б) Найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С; г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и С; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.
Решение. а) Воспользуемся формулой (6):
;
;
2x – 6 = –5y + 5;
2x + 5y – 11 = 0 – общее уравнение прямой.
б) Приведем уравнение прямой АВ, полученное в пункте а) к виду (3):
.
Отсюда ее угловой коэффициент . Аналогично находим угловой коэффициент прямой АС, построив ее уравнение:
;
–3x + 9 = –2y + 2;
3x – 2y – 7 = 0;
;
.
Теперь по формуле (9) получаем
.
в) Угловой коэффициент k3 перпендикуляра к АВ находим из условия (10): k1 k3 = –1, где из пункта б). Отсюда . Уравнение перпендикуляра находим по формуле (7):
y – (–2) = ;
2y + 4 = 5x – 5;
5x – 2y – 9 = 0.
г) Согласно формуле (11), угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, также равен . Поэтому по формуле (7) получаем уравнение
y – (–2) = ;
5y + 10 = –2x + 2;
2x + 5y + 8 = 0.
д) Воспользуемся формулой (1):
.
е) Воспользуемся формулой (12) и уравнением прямой АВ из пункта а):
.
ж) Воспользуемся формулой (13):
.
У п р а ж н е н и я
1.5.1. Построить уравнение прямой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; –3).
1.5.2. Даны три точки А(–2; 1), В(1; –3), С(2; 3). а) Построить уравнение прямой АВ; б) найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С; г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и В; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.