П.7 Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция дифференцируема на открытом множестве . Рассмотрим её график, т.е. множество

.

Пусть точка лежит на графике функции , т.е. .

Найдем дифференциал .

Известно, что вектор есть касательный вектор к кривой Г, проходящей через точку и лежащей на графике функции .

Условие означает, что вектор ортогонален вектору касательной. Поэтому вектор ортогонален любой кривой, лежащей на графике и проходящей через точку . Его называют вектором нормали к графику функций в точке Р.

Плоскость, проходящая через точку Р и ортогональная вектору нормали , называется касательной плоскостью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

.

Прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к графику функции в точке Р. Её уравнение имеет вид:

.

Если поверхность задана неявно, т.е. уравнением , то уравнение касательной плоскости имеет вид:

.

Из уравнения касательной плоскости получаем:

.

Получили геометрический смысл дифференциала: есть приращение аппликаты (координаты z) на касательной плоскости.

Геометрический смысл дифференцируемости функции в точке: если функция дифференцируема в точке , то в точке существует касательная плоскость к графику этой функции.

П.8 Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в области и пусть точка . Рассмотрим вектор , где

, т.е , –

углы, которые образует вектор с положительным направлением осей Ox, Oy, Oz соответственно.

O. Производной функции в точке направлении называется величина

.

Обозначим .

Тогда (имеется ввиду скалярное произведение).

Множество точек, для которых , =const будем называть линией уровня функции .

Утверждение Вектор ортогонален линии уровня, проходящей через точку . Градиент показывает направление наибольшего роста функции.

П.9 Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть для функции , существуют частная производная . Если эта функция имеет в некоторой точке частную производную , то эта производная называется частной производной второго порядка и обозначается или .

Если , то эта производная обозначается .

Производные и называются смешанными. Вообще говоря, не всегда равна .

Теорема (о смешанных производных) Если обе смешанные производные и определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке, то = .

Производные более высоких порядков определяются по индукции.

Например, .

Дифференциалом второго порядка для называется величина

.

Если смешанные производные непрерывны, то для функции двух переменных .

Если обозначить оператор , то для

,

.

Например, .

Отметим, что дифференциалы второго и более высокого порядков не обладают свойством инвариантности относительно замены переменных.