П.3 Свойства непрерывных функций
Теорема 1 (Вейерштрасса) Функция , непрерывная на компакте, ограничена на этом компакте.
Теорема 2 (Вейерштрасса) Функция , непрерывная на компакте, принимает на этом компакте свои наименьшее и наибольшее значения.
.
Функция
называется равномерно
непрерывной на множестве D,
если
.
Теорема (Кантора) Функция , непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.
Теорема
(о промежуточных значениях непрерывной
функции) Пусть функция
непрерывна в области
(
–
связное множество) и принимает в этой
области значения А
и В.
Тогда функция
принимает в области
и все значения, заключенные между А
и В,
т.е.
.
Доказательство.
Пусть функция
непрерывна в области
,
,
,
.
По условию,
– связное множество. Соединим точки а
и b
непрерывной
кривой
.
Сложная функция
непрерывна на
и принимает на концах этого отрезка
значения А
и В.
Так как
непрерывная
функция одной переменной, то она принимает
на
все значения, заключенные между А
и В.
Но множество значений функции
является подмножеством множества
значений функции
.
Поэтому и функция
принимает все значения, заключенные
между А
и В
■
§ 3 Дифференцируемость функций многих переменных п.1 Частные производные
Пусть функция
определена в окрестности точки
.
Зафиксируем переменные
.
Тогда функцию
можно рассматривать как функцию одной
переменной
.
Если такая функция имеет производную,
то эта производная называется частной
производной функции
по переменной
.
Таким образом,
.
Аналогично, при
.
Обозначается
i-тая
частная производная также
.
Так как при
вычислении частных производных все
переменные, кроме одной, фиксируются,
то техника вычисления частных производных
такая же, как техника вычисления
производных функций одной переменной.
Например, если
,
то
,
.
П.2 Дифференцируемость функций многих переменных
О.
Функция
называется дифференцируемой
в точке
,
если она определена в некоторой
окрестности
и существуют такие числа
,
что приращение функции
в
точке
представимо в виде:
при
.
Теорема
Если функция
дифференцируема в точке
,
то она имеет все частные производные
,
,
причем
при
.
Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке . Это значит, что существуют такие числа , что при
.
Возьмем в последнем
равенстве
,
,
… ,
.
Тогда последнее равенство примет вид:
,
.
Разделим это
равенство на
и устремим
.
Получим
.
Аналогично
доказывается, что
,
■
Доказанная теорема говорит о том, что дифференцируемость функции является достаточным условием для существования частных производных. Однако существование частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в точке.
Теорема
Если все частные производные
,
определены в окрестности точки
и непрерывны
в точке
,
то функция
дифференцируема в точке
.
Непрерывность частных производных в точке является достаточным условием дифференцируемости функции, но не является необходимым условием.
п.3 Дифференциал функции многих переменных
Пусть дифференцируема в точке . Тогда при её приращение представимо в виде:
, .
Обозначим
.
О.
Если функция
дифференцируема в точке
,
то линейную (относительно приращений
)
часть приращения функции называют
дифференциалом
функции
в точке
и обозначают
,
т.е.
.
Тогда
при
.
п.4 Правила дифференцирования
Правила
дифференцирования такие же, как и для
функций одной переменной: а)
;
б)
;
в)
.
Докажем, например, утверждение б).
.
п.5 Дифференцируемость сложной функции
Теорема
Пусть функции
дифференцируемы в точке
;
функция
дифференцируема в точке
.
Тогда сложная функция
дифференцируема в точке
,
причем
,
.
п.6 Инвариантность формы первого дифференциала
относительно замены переменной
Найдем дифференциал сложной функции .
.
Т. е.
.
Но так вычисляется дифференциал
и в случае, если
независимые переменные.
Мы получили
одинаковую формулу для дифференциала
и в случае, когда
независимые переменные, и в случае,
когда
некоторые функции от
.
Это свойство называется инвариантностью
формы первого дифференциала относительно
замены переменной.