4.Точечные оценки основных числовых характеристик

генеральной совокупности

Оценка характеристики распределения называется точечной, если она определяется одним числом, которому приближенно равна оцениваемая характеристика.

Генеральной средней дискретной генеральной совокупности называется среднее арифметическое всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности:

, (3)

где N – объем выборки.

Формула (3) имеет лишь теоретическое значение, так как на практике имеют дело не со всей генеральной совокупностью, а только с некоторой выборкой из нее.

Наилучшей оценкой генеральной средней является средняя выборочная, определяемая как среднее арифметическое всех значений изучаемого признака в выборке:

, (4)

где - частота встречаемости значения в выборке, - количество вариант, - объем выборки.

Математическим выражением того факта, что средняя выборочная представляет собой наилучшую оценку генеральной средней, является приближенное равенство

, (5)

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности от генеральной средней:

, (6)

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является так называемая исправленная выборочная дисперсия , определяемая по формуле

, (7)

Математическим выражением того факта, что исправленная выборочная дисперсия представляет собой наилучшую оценку генеральной дисперсии, является приближенное равенство

, (8)

Генеральным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

, (9)

Наилучшей оценкой генерального среднего квадратического отклонения является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле

, (10)

Математическим выражением того факта, что исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение представляет собой наилучшую оценку генерального среднего квадратического отклонения , является приближенное равенство

, (11)

Пример 2. При подсчете количества листьев на каждом из 20 комнатных растений определенного вида получены следующие результаты: 11, 10, 9, 10, 7, 11, 11, 13, 10, 8, 12, 10, 9, 12, 9, 10, 8, 12, 11, 10. Дать точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

Решение. Из полученных результатов видно, что количество листьев на растениях варьируется от 7 до 13. Значение 7 встречается 1 раз, значение 8 - 2 раза, значение 9 – 3 раза и т.д. Таким образом, можно составить следующий дискретный ряд распределения:

X	7	8	9	10	11	12	13
m	1	2	3	6	4	3	1

По формуле (4) найдем среднюю выборочную:

.

Таким образом, точечная оценка генеральной средней имеет вид:

.

Используя значение средней выборочной , по формуле (7) найдем исправленную выборочную дисперсию:

и в соответствии с (8) получим точечную оценку генеральной дисперсии :

.

Далее, по формуле (10) найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение :

и в соответствии с (11) получим:

.