6. Свойства вероятностей.

1⁰ Вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0P(A)1. Док-во: 0mn; (: n) 0(m\n)1.

2⁰ Вероятность достоверного события равно 1. Очевидно что все исходы благоприятствуют событию, т.е. m=n.

3⁰ Вероятность невозможного события = 0. т. к. событие невозможно, ни один из исходов не благоприятствуют, т.е. m = 0.

7. Теорема сложения вероятностей (для совместимых и несовместимых событий) и следствия из нее.

Т1: если события А и В несовместны, то вероятность суммы этих событий = сумме вероятностей. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: пусть m₁ исходов благоприятствует событию А, а m₂ событию В, тогда А+В благоприятствуют m₁+m₂,  Р(А+В)= (m₁+m₂)\n = m₁\n+m₂\n=Р(А)+Р(В).

Следствие 1: если события А₁,А₂,…,А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятности = 1. Р(А₁)+ Р(А₂)+…+ Р(А_n)=1. Док-во: А₁+А₂+…+А_n - достоверно. Вероятность достоверного события равна 1.

Следствие 2: Р(А)+Р( )=1 (сумма вероятности противоп. соб.=1).

Замечание: если вероятность одного из противоположных событий обозначить р, то вероятность другого обозначим q. Итак p+q=1.

Т2: если события А и В совместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Док-во: пусть m₁ исходов благоприятствуют событию А, m₂ исходов благоприятствуют событию В, к исходов благоприятствуют событию АВ. Тогда событию А+В благоприятствуют (m₁-k)+k+(m₂-k)=m₁+m₂-k. Р(А+В)= (m₁+m₂-k)/n=m_1/n+m_2/n-k/n=P(A)+P(B)-P(AB).

8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность события А при условии что произошло событие В наз-ют условной вероятностью А при событии В и обозначают Р_B(A).

Теорема: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что произошло первое. Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В) (1), Р(АВ)=Р(В)*Р_В(А) (2). Док-во: Р(АВ)=к/n=m/n*k/m. m/n=P(A); k/m=P_A(B), т.к. событие А произошло, то из всех возможных исходов остались только m благоприятных событию А, k из которых благоприятны событию В.

Следствие: Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)*Р_А1(А₂)*Р_А1А2(А₃)*…*Р_{А1А2…Аn-1}(А_n).

9. Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

Опр: Событие А наз-ют независимым от события В, если его вероятность не зависит от того произошло или не произошло событие В, т.е. Р(А)=Р_В(А). Из P(AB) = P(A)*P_A(B) имеем Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А), если А не зависит от В, то сократив на равные выражения получаем Р(В)=Р_А(В), то В не зависит от А => понятие зависимости яв-ся взаимным. События А₁,А_2, … ,А_n называют независимыми в совокупности или просто независ., если каждое из них и произведение люб. числа других попарно независ-мы. Напр. события А_1, А_2, А₃ независ., если независ. следующие пары событий: А₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и А₃, А₁ и А₂А₃, …

Т: вероятность произвед-я 2^х независ-х событий = произв-ю их вероят-тей. Р(АВ)=Р(А)Р(В). Т. явл-ся следствием теор. умножения вероятностей.

Следствие: если события А_1,А_2,….,А_n независимы в совокупности, то вероятность их произведения Р(А₁*А₂*…*А_n)=Р(А₁)* Р(А₂)*…* Р(А_n).

10. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти с одним и только с одним из попарно несовместных событий В₁, В₂,…,В_n, образующих полную группу. Т.к. заранее не известно какое из событий В_i произойдет, то их наз-ют гипотезами, очевидно что наступление события А равносильно наступлению одного из попарно несовместных событий АВ₁ или АВ₂ или... АВ_n, т.е. А=АВ₁+АВ₂+…+АВ_n. По теореме сложения для несовместных событий имеем: Р(А)=Р(АВ₁)+Р(АВ₂)+…+Р(АВ_n), по теореме умножения имеем: Р(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+Р(В2)*Р_В2(А)+…+Р(В_n)*Р_Вn(А). P(A)=∑P(B_K)*P_BK(A)