4. Сокращение длины

Пусть длина стержня, расположенного в оси системы и движущийся вместе с этой -системой равна где и – координаты концов стержня. Для измерения длины этого стержня в неподвижной системе S, произведем отметки его концов и в один и тот же момент времени (по часам системы S). Величину как и в случае с преобразованиями Галилея, будем называть длиной движущегося стержня. Из формул (2.10) следует

Следовательно,

(2.13)

Как видим, при любой скорости имеем Это означает, что наблюдатель, относительно которого стержень движется получает при измерении меньшую длину, чем наблюдатель, относительно которого стержень неподвижен. Другими словами, длина движущегося стержня l меньшее длины неподвижного l₀. Это означает также, что и единица длины в системе S оказывается короче, чем собственная (в системе S′) единица длины, и имеет точное значение Различие в длинах связано с тем, что понятие одновременности утратило свой абсолютный смысл. По отношению к одной системе отсчета концы стержня зафиксированы одновременно, а по отношению к другой один конец зафиксирован раньше, чем другой, поэтому и длина стержня в этой системе отсчета меньше. Заметим, что изменяются только продольные размеры тела; поперечные же остаются без изменения: поскольку и то

Таким образом, в релятивистской механике о длине тела, в отличие от классической механики, можно говорить лишь по отношению его к той или иной системе отсчета. То же самое относится и к временным промежуткам. Аналогией этому является то, что мы не можем говорить о скорости тела вообще, безотносительно к какой-либо телу отсчета, ибо не существует скорости тела самой по себе.

Величина c, фигурирующая в формулах (2.12) и (2.13), как уже отмечалось, играет роль скорости тех сигналов (электромагнитных), которые используются для синхронизации часов. Если скорость синхронизирующего сигнала считать то выражения (2.12) и (2.13) переходят в классические и – движущиеся часы будут идти так же, как и неподвижные, а длина движущегося стержня будет равна длине неподвижного. На неявном предположении о возможности синхронизации часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов и основано было классическое (ньютоновское) представление о пространстве и времени. В действительности же Однако если скорость относительного движения систем отсчета то и выражения (2.12) и (2.13) переходят в классические, как и при Это означает, что ньютоновское представление о пространстве и времени справедливо при скоростях

5. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть – скорость материальной точки, движущейся вдоль оси по отношению к системе Тогда x-компонента скорости той же точки по отношению к системе S найдется как Из формул преобразования (2..9) находим

Разделив первое равенство на второе, получим

Разделив числитель и знаменатель этого равенства на и учтя определение скорости , получим

_{Полученное соотношение пред}ставляет собой формулу, связывающую скорость материальной точки в движущейся и условно неподвижной системах отсчета. Ее называют релятивистским законом сложения скоростей. При этом, очевидно, и – поперечные компоненты скоростей остаются без изменения. При малых скоростях, т.е. при V << c и v, , полученное выражение, как и должно быть, переходит в классический закон сложения скоростей Убедимся также, что релятивистский закон сложения скоростей согласуется со вторым постулатом теории относительности об одинаковости скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Пусть, например, в системе _{тогда скорость света в системе S будет}

т.е. так же, как и в системе S′.