2.4. Специальный принцип относительности и

преобразования Лоренца

Согласно принципу относительности Галилея все механические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково. Но возникает вопрос: распространяется ли принцип относительности на другие, не механические, явления? Ответ на этот вопрос был дан А. Эйнштейном в 1905 году. Согласно Эйнштейну, принцип относительности спра-координатыведлив не только для механических, но и для любых физических явлений. Все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравнения их описывающие, не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Ни одна из инерциальных систем не имеет преимущества перед другими. Все они равноправны как в отношении механических, так и в отношении электрических, оптических и вообще всех физических явлений. Эти утверждения составляют содержание специального принципа относительности. Он является и первым постулатом, созданной Эйнштейном, специальной теории относительности. В качестве второго постулата Эйнштейн принял принцип постоянства скорости света, согласно которому скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника и приемника света. Это означает, что классический закон сложения скоростей к скорости света в вакууме не применим. Скорость света в вакууме не складывается со скоростью движения системы отсчета и всегда равна c, не зависимо от взаимного направления векторов Vи c: c(V) = const. Скорость света, таким образом, не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. является величиной инвариантной: c = inv.

Получим математическое выражение, учитывающее оба постулата теории относительности. Рассмотрим опять две инерциальные системы отсчета: условно неподвижную S и движущуюся относительно нее вдоль оси X со скоростью V систему S′. Пусть в момент времени в общем (совпадающем) начале отсчета производится вспышка света. За время t в системе S эта вспышка доходит до точек, находящихся на расстоянии r = ct от начала координат. С другой стороны, это расстояние равно Приравнивая оба выражения, находим

(2.5)

Мы получили уравнение сферы радиуса ct. Соотношение (2.5) можно записать в виде

(2.6)

Таким образом, распространение света из точечного источника можно представить как распространение светового фронта, имеющего форму сферической поверхности в системе отсчета S, относительно которой источник света неподвижен. Согласно принципу относительности Эйнштейна, для наблюдателя в системе отсчета , световой фронт должен быть также сферическим, поэтому уравнение сферического фронта в движущейся системе отсчета должно иметь вид

Здесь учтено, что величина скорости света в системе равна тому же значению c, что и в системе S. Отсюда получаем, что

(2.7)

Как видим,

(2.8)

Это и есть математическое выражение, учитывающее как специальный принцип относительности, так и постулат постоянства скорости света в вакууме. Следовательно, квадратичная форма (2.6) не должна менять вида (или, как говорят, быть инвариантной) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е.

Преобразования координат и времени от одной системы отсчета к другой должны удовлетворять условию (2.6) или, иначе, тем свойством, что например, после замены с помощью преобразований в (2.6) «штрихованных» величин на «не штрихованные» мы должны вновь получить уравнение сферического фронта.

Легко убедиться, что преобразования Галилея этому требованию не удовлетворяют, и должны быть, поэтому, заменены другими. Эти новые преобразования должны, кроме указанного выше требования, обладать еще и тем свойством, что в пределах справедливости классических представлений, когда V << c, т.е. при они должны переходить в преобразования Галилея¹. Как и преобразования Галилея, они должны быть линейными как относительно координат, так и относительно времени. Действительно, вследствие однородности пространства и времени никакие преобразования не должны изменяться при переносе начала координат и сдвига во времени, т.е. при замене и , а этим свойством обладают только линейные зависимости. Только в случае линейных преобразований событие, наблюдаемое в одной системе отсчета, будет преобразовываться лишь в одно событие, в другой системе отсчета.

Всем указанным выше требованиям удовлетворяют преобразования, полученные Лоренцем и носящие его имя:

(2.9)

Эти формулы описывают преобразования координат и времени при переходе от системы к системе S. Формулы обратного преобразования можно получить, как и в случае обратных преобразований Галилея. Будем иметь

(2.10)

Дадим вывод формул (2.9). Подставляя преобразования Галилея в соотношение (2.7), получим

Полученное выражение не совпадает с выражением (2.6) из-за наличия слагаемого . Чтобы избавиться от этих нежелательных слагаемых в преобразовании времени к правой части следует добавить член, пропорциональный координате x, т.е. положить, что где – подлежащий определению коэффициент. Преобразования же и и должны остаться без изменения, так как двучлен в равенстве (2.7) преобразуются в двучлен . С учетом этих замечаний получаем

(2.11)

Все нежелательные содержащие произведения xt исчезнут, если положить Решая это уравнение, находим Тогда При таком выражении для равенство (2.11) приводится к виду

Эта квадратичная форма отличается от (2.7) лишь множителем при и . Его также можно исключить, если записать искомые преобразования в виде (2.9).

Величина c, фигурирующая в преобразованиях Лоренца, как уже отмечалось, играет роль скорости тех сигналов (электромагнитных), которые используются для синхронизации часов. Если скорость синхронизирующего сигнала то преобразования Лоренца (2.9) и (2.10) переходят в преобразования Галилея (2.3.) и (2.4). На неявном предположении о возможности синхронизации часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов, как уже отмечалось, и основано было классическое представление о пространстве и времени. В действительности же Однако если скорость относительного движения систем отсчета то и преобразования (2.9) и (2.10) переходят в классические преобразования Галилея, как и при Это означает, что классические представления о пространстве и времени справедливы при скоростях движения тел и сигналов

2.5. Следствия из преобразований Лоренца.