Глава 3. Линейные пространства
3.5. Базис и размерность линеала
Определение 3.5.1. Упорядоченная совокупность линейно независимых векторов e1, e2, …, en линеала L называется базисом линеала, если для каждого вектора x L найдутся вещественные числа i, i = 1, 2,…, n, что
x = .
Последнее равенство называют разложением вектора x по базису e1, e2, …, en.
На основании данного определения можно утверждать, что в векторном пространстве V 1 произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве базисного, в пространстве V 2 упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис, а в V 3 упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.
В пространстве R n векторы u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, un = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис, поскольку они линейно независимы и любой вектор x = (1, 2,…, n) R n представим в виде .
Отметим, что в определении базиса порядок элементов существенен, так как, переставляя элементы базиса, получаем снова базис, но уже другой.
Определение 3.5.2. Числа 1, 2,…, n, фигурирующие в разложении элемента x линеала L по заданному базису e1, e2, …, en называются координатами данного вектора относительно рассматриваемого базиса.
Теорема 3.5.1. Координаты всякого элемента линеала L относительно заданного базиса определяются однозначно.
Доказательство. Допустим, что e1, e2, …, en — базис линеала L. Пусть для некоторого вектора x наряду с разложением x = существует еще и другое разложение x = . Но тогда справедливо равенство 0 = . Базисные элементы e1, e2, …, en линейно независимы, поэтому для всех i = 1, 2, …, n имеем i = i.
Теорема 3.5.2. При сложении элементов линеала L их координаты складываются, а при умножении вектора на вещественное число все его координаты умножаются на данное число.
Доказательство. Пусть элементы e1, e2, …, en образуют базис в L, x и y — произвольные элементы из L, λ — произвольное вещественное число, s = x + y, p = x.
Ясно, что x = , y = , s = , p = . Используя аксиомы 1 — 8 линеала L, получаем
s = x + y = + = ,
p = x = λ( ) = .
В силу единственности разложения по базису имеем i = i + i , i = i, i = 1, 2,…, n.
Теорема 3.5.3. Если каждый из (n + 1) элементов y0, y1,…, yn линеала L представим в виде линейной комбинации n линейно независимых элементов x1, x2,…, xn того же линеала, т. е.
yi = , , (3.5.1)
то элементы y0, y1,…, yn линейно зависимы.
Доказательство см., например, учебник Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. «Геометрия».
Следствие 3.5.1. Любые (n + 1) векторов линейного пространства являются линейно зависимыми.
Доказательство. Возьмем произвольно векторы yk = ( ), . Поскольку u1 = (1, 0,…, 0), u2 = (0, 1,…, 0),…, un = (0, 0,…, 0, 1) образуют базис в пространстве , то для любого имеем yk = . Следовательно, в силу теоремы 3.5.3 произвольные (n + 1) векторов из линеала линейно зависимы.
Следствие 3.5.2. Любые два базиса линеала L содержат одно и то же число векторов.
Доказательство. Пусть e1, e2, …, en базис линеала L, а другой базис этого же линеала. Так как , причем e1, e2, …, en линейно независимы. В силу теоремы 3.5.3 — линейно зависимы. Полученное противоречие и доказывает следствие.
Определение 3.5.3. Линеал L называют n-мерным, если в нем существует базис, состоящий из n векторов.
Число n называют размерностью линеала L и обозначают dim(L) = n.
Таким образом, размерность пространства — это наибольшее число его линейно независимых элементов.
Если линеал L является n-мерным и необходимо подчеркнуть его размерность, то обычно используют обозначение . Ясно, что dim(V 1) = 1 dim(V 2) = 2, dim(V 3) = 3.
Линеал , содержащий единственный нулевой элемент, является нуль–мерным.
Определение 3.5.4. Линеал L называется бесконечномерным, если для любого натурального числа N в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N элементов.
Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.
Теорема 3.5.4. Для того чтобы линеал L был n-мерным, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала линейно независимая система, состоящая из n элементов, а всякая система, содержащая более n векторов, была бы линейно зависимой.
Доказательство. Необходимость. Если линеал является n –мерным, то в нем существует базис e1, e2,…, en, состоящий из n элементов. Произвольный вектор xj L, представим в виде линейной комбинации векторов e1, e2,…, en, поэтому любая совокупность более чем n элементов является линейно зависимой.
Достаточность. Пусть e1, e2,…, en линейно независимые элементы. Возьмем произвольный вектор x L. По условию векторы e1, e2,…, en, x линейно зависимы, т. е. существует нетривиальная линейная комбинация α1e1 + α2e2 +…+ αnen + αx = 0, причем α 0. Но тогда x может быть разложен по e1, e2,…, en, т. е. эти элементы — базис линеала L.
В n-мерном линеале L всякий базис состоит из n упорядоченных линейно независимых элементов, при этом любой вектор линеала Ln единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных элементов.
Это утверждение не вытекает из аксиом 1° – 8° линейного пространства. Поэтому следует сформулировать новую аксиому.
9°. (аксиома размерности). Линейное пространство L конечномерно и его размерность равна n.
При выполнении этой аксиомы из аксиом 1° – 8° очевидно вытекает сформулированное утверждение.