- •Глава 3. Линейные пространства Глава 3. Линейные пространства
- •3.1. Линейные операции над векторами
- •Вопросы и упражнения
- •3.2. Линеал
- •Вопросы и упражнения
- •3.3. Линейная зависимость и независимость векторов
- •Вопросы и упражнения
- •3.4. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном пространстве
- •Вопросы и упражнения
Глава 3. Линейные пространства Глава 3. Линейные пространства
3.1. Линейные операции над векторами
Вектором называют отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является начальной и какая — конечной. Начальную точку называют началом (точкой приложения) вектора, а конечную — концом вектора.
Под направлением вектора понимают направление от его начала к концу. Направление отмечается стрелкой, помещаемой у конца вектора (рис. 3.1.1).
Длина или модуль вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор.
Вектор с началом А и концом В обозначают символом . Иногда вектор обозначают одной буквой со стрелкой, помещенной сверху этой буквы, например, (рис. 3.1.1). Длину вектора обозначают соответственно как | |, | | и т. д.
Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор обозначают обычно символом . Нулевой вектор не имеет определенного направления (направление произвольно) и его длина равна нулю: | |= 0.
Вектор называют единичным, если его длина равна единице в принятой системе измерения (рис. 3.1.2).
Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Векторы коллинеарны, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 3.1.3). Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.
Рис. 3.1.1 |
Рис. 3.1.2 |
Рис. 3.1.3 |
Рис. 3.1.4 |
Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если для любых точек M и N, выбранных на лучах, определенных этими векторами, при условии, что , расстояние не меняется (рис. 3.1.4).
Для сонаправленных векторов будем использовать обозначение . Два коллинеарных, но не сонаправленных вектора, называются противоположно направленными (обозначение ).
Теорема 3.1.1. Два вектора, сонаправленных с третьим, сонаправлены друг с другом:
, .
Доказательство. Очевидно, что и коллинеарны. Так как , то для любых точек M и P таких, что расстояние не меняется. Поскольку , то для любых точек N и P таких, что расстояние не меняется. Но тогда и расстояние не меняется. Поэтому .
Ортом ненулевого вектора называют вектор :
.
Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для равных векторов и используют обозначение .
Векторы противоположны, если они противоположно направлены и имеют одинаковую длину (векторы и , рис. 3.1.3). Для противоположных векторов и используют обозначение .
Ясно, что если
(коммутативность),
(транзитивность).
Заметим, что равенство векторов определено с точностью до их положения в пространстве. Иными словами, мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы, т. е. векторы, точки приложения которых произвольны.
Говорят, что векторы следуют друг за другом, если начало каждого из них, начиная со второго, совпадает с концом предыдущего вектора (рис. 3.1.5).
Суммой векторов, следующих друг за другом, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора.
На рис. 3.1.6 представлена сумма
Суммой произвольно расположенных векторов называется сумма векторов, следующих друг за другом, построенных, начиная с некоторой точки О, и равных соответственно данным векторам (рис. 3.1.7).
Рис. 3.1.5 |
Рис. 3.1.6 |
Рис. 3.1.7 |
Сумма произвольно расположенных векторов не зависит от того, как выбрана начальная точка О при построении векторов, следующих друг за другом.
Сумма векторов определяется однозначно и обладает очевидными свойствами:
1. (коммутативность).
2. ( ) + = + ( ) (ассоциативность).
3. (особая роль нулевого вектора).
4. : (существование противоположного вектора).
Р
Рис.3.1.8
азностью векторов и называют такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : + = (рис. 3.1.8). Разность векторов обозначается = .Произведением вектора на вещественное число называется вектор :
;
Если = 0 или , то вектор = .
Если — орт вектора , то , откуда .
Произведение вектора на число определяется однозначно и обладает следующими свойствами:
1) (ассоциативность);
2) (дистрибутивность относительно суммы чисел);
3) (дистрибутивность суммы векторов);
4) 1 (наличие единицы).
Рассмотренные операции (сложение векторов и умножение вектора на вещественное число) называются линейными операциями над векторами.
Теорема 3.1.2. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое число 0, что вектор .
Доказательство. Достаточность. Непосредственно следует из определения произведения вектора на число.
Необходимость. Рассмотрим векторы и , где
По построению векторы , = .