- •1. Базові поняття
- •2. Основні закони правильного мислення
- •3. Класифікація міркувань
- •4. Дедуктивні міркування
- •4.1. Основні ідеї При дедуктивних міркуваннях уважається. Що
- •4.2. Складні судження
- •4.3. Безпосередні умовиводи
- •5. Прості силогізми
- •6. Індуктивні умовиводи
- •7. Висновки за аналогією
- •Із всіх плоских фігур рівної площі найменший периметр має коло
- •9. Предикати
- •10. Формальні теорії
- •11. Процедура резолюції
- •12. Формальні граматики
- •13. Теорія алгоритмів
- •14. Теорія імовірності й умовна ймовірність Байеса
- •Перший кидок Другий кидок Орел Орел
10. Формальні теорії
Синтаксична структура понять предметної області звичайно описується деякою формальною теорією. Теорія доказів повинна допомагати одержувати формальними методами нові твердження про властивості об'єктів або явищ предметної області, які є змістовною інтерпретацією виведених формул.
В алфавіт мови системи входять предметні константи, предметні змінні, предикатні константи, предикатні змінні, логічні зв'язування й квантори, допоміжні символи (дужки, коми тощо).
Множина слів мови складається із правильно побудованих формул (ППФ). Це аксіоми, що задаються насамперед при побудові теорії. Правила виведення дозволяють одержувати з аксіом нові ППФ – теореми. Множина аксіом називається незалежною, якщо ні одну з них не можна, вивести із сукупності інших. Часто для спрощення доказу теорем у систему аксіом включають і залежні.
Безпосередня виводимість F з Fi,F2,...,Fn записується у вигляді ------------- . Над рисою записуються передбачувані істинними посилки, під рисою – висновок). Факт виводимості позначається Fi,F2,...,Fn \- F. Мітка d служить для посилань на правило.
У формальних системах логічного типу в множину аксіом завжди входять логічні, використання яких поряд зі специфічними для даної теорії правилами виведення дозволяє формалізувати процес доказу.
Логічне вирахування будемо називати несуперечливим, якщо в ньому не виведені одночасно F і F . У суперечливих вирахуваннях виведена будь-яка формула. Остання обставину можна використати для доказу несуперечності вирахування: досить показати існування в ньому невиведеної формули.
11. Процедура резолюції
Доказ або спростування формули називається логічним виведенням. Передбачається, що в процесі виведення використовуються лише раніше придбані формалізовані знання, а не нові експерименти й спостереження.
У сучасних системах автоматизації логічного виведення широко використається метод резолюцій. У процедурі резолюцій замість заданої формули F, передбачуваної тотожно істинною, розглядають її заперечення -iF і намагаються довести його суперечливість. Це власне кажучи "доказ від противного". У його основі лежить операція виключення з різних пропозицій висловлень-резольвент, якщо ці висловлення в одних пропозиціях заперечуються, а в інших - ні. Необхідна суперечливість встановлюється як одночасна справедливість двох взаємовиключних висловлень. Якщо процес виведення резольвент обірветься, не привівши до протиріччя, то вихідна теорема невірна. Достоїнством методу резолюцій є можливість виявлення протиріччя набагато раніше, ніж буде виконаний повний перебір можливостей. Розроблено багато евристичних поліпшень спрямованості й тим самим - швидкодії методу.
Спочатку запишемо відомі істинні факти у вигляді логічного добутку диз'юнктивних форм:
BvA
CvB
С
Допустимо, що ми хочемо довести А. Щоб це зробити, доповнимо заданий набір запереченням А:
BvA
CvB
C
A
Виключимо тепер знову введене речення і його заперечення в іншому реченні. Цей процес називається резолюцією (може бути, тому, що резолюції найчастіше негативні??). Наприклад, ми можемо виключити А й А в
першому, залишивши в них без зміни сукупність інших висловлень (таку сукупність називають резольвентою). У результаті залишаються
В
CvB
С
Тепер виключимо В в першому реченні й В – у другому:
С
С
Крім обох залишившихся речень, одержуємо порожнє речення, що означає істинність А. Правила виведення представляються як В D Е -> А (хорновські диз'юнкти).
Вибір пари речень, що зіставляються при виборі чергової резольвенти, реалізується в ієрархічно організованому просторі станів - дереві І/АБО на основі стратегії "углиб, починаючи ліворуч". Задана мета Р зіставляється з першим реченням, що має Р у якості висновку. Потім доводиться перший компонент відповідного диз'юнкта, і т.д.