1.2.4. Програмні алгебри

Побудовані композиції дозволяють стверджувати, що отримано алгебру функцій (програмну алгебру)

A_Prog =<FNA, FNB, FNAB, FA, FB, FS; Sⁿ, AS^x, , IF, WH, x, id >.

Наведена алгебра містить багато «зайвих» функцій, які не можуть бути породжені в мові SIPL. Аналіз мови дозволяє стверджувати (цей факт буде доведено пізніше в теоремі 1.1), що функції, які задаються мовою SIPL, породжуються в алгебрі A_Prog з наступних базових функцій:

• add, sub, mult, div FNA,

• or, and, neg FNB,

• less, leq, eq, neq, geq, gr FNAB,

• FA (nInt),

• , FB,

Підалгебру алгебри A_Prog, породжену наведеними базовими функціями, назвемо функціональною алгеброю мови SIPL і позначимо A_SIPL.

Зауважимо, що всі функції алгебри A_SIPL є однозначними (детермінованими) функціями. Це випливає з того, що всі базові функції є однозначними, а композиції зберігають цю властивість. (Довести цю властивість самостійно).

Формули для обчислення композицій та функцій алгебри A_Prog подамо у наступній таблиці (тут f – n-арна функція, fa, g₁,…, g_n – номінативні арифметичні функції, fb – номінативний предикат, fs, fs₁, fs₂ – біномінативні функції, st – стан, n – число).

Таблиця 1.2

Композиція (функція)	Формула обчислення	Ім’я формули
Суперпозиція	(Sn(f, g1,…, gn))( st)=f(g1(st),…, gn(st))	AF_S
Присвоєння	ASx (fa)(st)=st [x fa(st)]	AF_AS
Послідовне виконання	fs1fs2(st)=fs2(fs1(st))	AF_SEQ
Умовний оператор		AF_IF
Цикл	WH(fb,fs)(st)=stn, де st0=st, st1=fs(st0), st2=fs(st1), …, stn=fs(stn-1), причому fb(st0)=true, fb(st1)=true,…, fb(stn-1)=true, fb(stn)=false.	AF_WH
Функція розіменування	x(st)=st(x)	AF_DNM
Тотожна функція	id(st)=st	AF_ID

Побудована алгебра A_SIPL дозволяє тепер формалізувати семантику програм мови SIPL, задаючи їх функціональними виразами (семантичними термами) алгебри A_SIPL.

1.3. Побудова семантичного терму програми

Програма мови SIPL може бути перетворена в семантичний терм (терм програмної алгебри), який задає семантику цієї програми (семантичну функцію програми), перетвореннями такого типу:

• sem_P: Prog  FS

• sem_S: Stm  FS

• sem_A: Aexp  FA

• sem_B: Bexp  FB

Ці перетворення задаються рекурсивно (за структурою програми). Тому побудова семантичного терму залежить від вибору структури синтаксичного запису програми. Тут треба зважати на неоднозначність обраної нами граматики, що може призвести до різної семантики програм. Для досягненя однозначності треба користуватись пріоритетами операцій та типом їх асоціативності.

Таблиця 1.3

Правило заміни	Назва правила
sem_P: Prog  FS задається правилами:
sem_P(begin S end)= sem_S(S)	NS_Prog
sem_S: Stm  FS задається правилами:
sem_S(x:=a)=ASx(sem_A(a)) sem_S(S1;S2)= sem_S(S1) sem_S(S2) sem_S(if b then S1 else S2)= IF(sem_B(b), sem_S(S1), sem_S(S2)) sem_S(while b do S)= WH(sem_B(b), sem_S(S)) sem_S(begin S end)=(sem_S(S)) sem_S(skip)=id	NS_Stm_As NS_Stm_Seq NS_Stm_If NS_Stm_Wh NS_Stm_Op NS_Stm_skip
sem_A: Aexp  FA задається правилами:
sem_A(n)= sem_A(a)=a sem_A(a1+a2)=S2(add, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_A(a1–a2)=S2(sub, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_A(a1a2)=S2(mult, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_A(a1a2)=S2(div, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_A((a))=sem_A(a)	NS_A_Num NS_A_Var NS_A_Add NS_A_Sub NS_A_Mult NS_A_Div NS_A_Par
sem_B: Bexp  FB задається правилами:
sem_B(true)= sem_B(false)= sem_B(a1<a2)=S2(less, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(a1a2)=S2(leq, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(a1=a2)=S2(eq, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(a1a2)=S2(neq, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(a1a2)=S2(geq, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(a1>a2)=S2(gr, sem_A(a1), sem_A(a2)) sem_B(b1b2)=S2(or, sem_B(b1), sem_B(b2)) sem_B(b1b2)=S2(and, sem_B(b1), sem_B(b2)) sem_B(b)=S1(neg, sem_B(b)) sem_B((b))= sem_B(b)	NS_B_true NS_B_false NS_B_less NS_B_leq NS_B_eq NS_B_neq NS_B_geq NS_B_gr NS_B_or NS_B_and NS_B_neg NS_B_Par

Наведені правила слід розглядати як загальні правила, які в логіці називають схемами правил. Щоб із загального правила (метаправила) отримати конкретне правило (об’єктне правило), слід замість синтаксичних метасимволів, таких як a, b, S, P, n, x, підставити конкретні синтаксичні елементи (записи), наприклад замість a підставити N–M, замість b – M>N і т.п. Далі ліва частина конкретного правила заміняються на його праву частину і т.д.