Исключение мини-максных оценок

Если в выборке наблюдается минимальные или максимальные значения показателей, то они могут быть достаточно корректно исключены из совокупности на основании следующих критериев:

3.1. Критерий исключения максимального (минимального) наблюдения из нормального распределения

При нормальном законе распределения оценок возможно определение оценки противоречивости мнения отдельного эксперта обобщенному мнению группы.

Последовательность оценки:

1) Определяется среднее (точечное) значение оценки:

(29)

2) Оценивается дисперсия упорядоченного ряда:

(30)

3) Определяется параметр

(31)

По табл. 13 находится значение коэффициента β_m для различных значений N и α.

4) При β_m> β_ф есть основание считать мнение отдельного эксперта противоречащим мнению группы.

5) Проверка крайних значений проводится до тех пор, пока оставшиеся составляющие не будут образовывать группу непротиворечивых оценок.

Пример. Пусть известны в результате экспертного опроса (N=10) по условной шкале точечные прогнозы будущих значений: 10; 8; 15; 11; 13; 12; 9; 10; 8; 11. Сомнительным представляется мнение третьего эксперта.

Вычислим точечный прогноз группы экспертов:

.

Таблица 13

Значение коэффициента β для нормального распределения

n	Уровень значимости, α			n	Уровень значимости, α
	0,1	0,05	0,01		0,1	0,05	0,01
3	1,15	1,15	1,15	15	2,25	2,41	2,70
4	1,42	1,46	1,49	16	2,28	2,44	2,75
5	1,60	1,67	1,75	17	2,31	2,48	2,78
6	1,73	1,82	1,94	18	2,34	2,50	2,82
7	1,83	1,94	2,10	19	2,36	2,53	2,85
8	1,91	2,03	2,22	20	2,38	2,56	2,88
9	1,98	2,11	2,32	21	2,41	2,58	2,91
10	2,04	2,18	2,41	22	2,43	2,60	2,94
11	2,09	2,23	2,48	23	2,45	2,62	2,96
12	2,13	2,28	2,55	24	2,47	2,64	2,99
13	2,18	2,33	2,61	25	2,49	2,66	3,01
14	2,21	2,37	2,66

Оценим дисперсию: σ² = D = 4,9.

Определим параметр: .

По табл.13 для N=10 определяем, α > 0,10. Следовательно, с вероятностью α > α^’ = 0,05 нет оснований считать мнение третьего эксперта противоречащим мнению группы.

Если же оценка третьего эксперта составит не 15, а например, 17, то картина существенно изменится. Средняя оценка составит = 10,9, дисперсия D = 6,67, параметр β = 2,71. В соответствии с табл.13 при N=10 α < 0,01. Это означает, что с вероятностью более 99% можно утверждать, что оценка третьего эксперта противоречит мнению всей группы.

3.2. Критерий исключения максимального (минимального) наблюдения (Смирнова-Грабса)

Пусть имеется ряд результатов наблюдений x₁, x₂, x₃,… x_n, среди которых подозрительным является одно из значений. Упорядочим наблюдения в возрастающем порядке и получим вариационный ряд x₁ ≤ x₂ ≤ ≤…≤ x_n. подозрительным является значение x_n= max x_i. Допустим, что нам неизвестны значения a (среднее) и σ² (дисперсия). В этом случае можно воспользоваться величиной T_n:

, (32)

, (33)

(34)

Таблица 14

Таблица критических значений Смирнова-Граббса

n	Уровень значимости, α			n	Уровень значимости, α
	0,1	0,05	0,025		0,1	0,05	0,025	0,01
3	1,406	1,412	1,414	14	2,297	2,461	2,602	2,856
4	1,645	1,689	1,710	15	2,326	2,493	2,638	2,905
5	1,791	1,869	1,917	16	2,354	2,523	2,670	2,946
6	1,894	1,996	2,067	17	2,380	2,531	2,701	2,983
7	1,974	2,093	2,182	18	2,404	2,577	2,729	3,017
8	2,041	2,172	2,273	19	2,426	2,600	2,754	3,049
9	2,097	2,237	2,349	20	2,447	2,623	2,778	3,079
10	2,146	2,294	2,414	21	2,467	2,644	2,801	3,106
11	2,190	2,343	2,470	22	2,486	2,664	2,823	3,132
12	2,229	2,387	2,519	23	2,504	2683	2,843	3,156
13	2,264	2,426	2,562	24	2,520	2,701	2,862	3,179

Процедура расчета состоит в следующем:

Вычисляется значение T_n, и по наперед заданному значению уровня значимости α в табл.14 находится критическое значение C_α, отвечающее числу наблюдений n. Если T_n > C_α, то гипотеза об однородности совокупности наблюдений отвергается и x_n может быть исключено из ряда наблюдений как нарушающее однородность выборки: x_n значимо отличается от среднего значения . Если же T_n < C_α гипотеза об однородности совокупности принимается и нет достаточных оснований считать, что x_n есть значимое отклонение.

T_n < C_α, x_n - исключается!

В статистической литературе часто используется термин «доверительная вероятность» β (β=1-α). Критическое значение C_α=С_1-β есть величина критерия T_n, отвечающая доверительной вероятности β

(35)

Пример. Пусть имеются данные выборочных наблюдений. Ряд значений характеризуется числами 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 18. Сомнительным представляется число 18.

Среднее значение составляет:

Среднеквадратическое отклонение равно: ,

.

Зададимся уровнем значимости α = 0,05 (уровень значимости критерия есть вероятность отвергнуть гипотезу, если она верна) и из табл.14 получим величину критического значения критерия С_0,05 = 2,294. Поскольку полученное значение Т₁₀ = 2,41 больше С_α = 2,294, гипотеза об однородности ряда наблюдений отвергается и последнее значение наблюдения (18) должно быть исключено как нетипичное.

Для изучения минимального значения выборки x₁=min x_i используется величина

(36)

T_i имеет такое же распределение, что и T_n, поэтому можно использовать ту же табл. 14 критических значений Смирного-Граббса.

3.3. Критерий исключения одного экстремального наблюдения (Ф.Граббса)

Для построения решающего правила при исключении максимального значения используется величина

, (37)

где x₁ ≤ x₂ ≤ ≤…≤ x_n – вариационный ряд из наблюдений x₁, x₂, x₃… x_n.

, (38)

. (39)

Для исключения минимального наблюдения используется величина

, (40)

где . (41)

Распределение величин (37) и (40) найдено и затабулировано Ф.Граббсом (табл.15).

Таблица 15

Таблица критических значений C_α для величин G_n и G₁

(критерий Ф.Граббса)

n	Уровень значимости, α			n	Уровень значимости, α
	0,1	0,05	0,025		0,1	0,05	0,025
3	0,0109	0,0027	0,0007	14	0,5942	0,5340	0,4792
4	0,0975	0,0494	0,0248	15	0,6134	0,5559	0,5030
5	0,1984	0,1270	0,0808	16	0,6306	0,5755	0,5246
6	0,2826	0,2032	0,1453	17	0,6461	0,5933	0,5342
7	0,3503	0,2696	0,2066	18	0,6601	0,6095	0,5621
8	0,2050	0,3261	0,2616	19	0,6730	0,6243	0,5785
9	0,4502	0,3742	0,3101	20	0,6848	0,6379	0,5937
10	0,4881	0,4154	0,3526	21	0,6958	0,6504	0,6076
11	0,5204	0,4511	0,3911	22	0,7058	0,6621	0,6206
12	0,5483	0,4822	0,4232	23	0,7151	0,6728	0,6327
13	0,5727	0,5097	0,4528	24	0,7238	0,6829	0,6439
				25	0,7319	0,6923	0,6544

Гипотеза об однородности совокупности отвергается, если G_n и G₁ меньше критического значения G_α; максимальное (минимальное) значение наблюдения исключается из совокупности:

G_n, G₁<Gα x_n, x₁ - исключается!

Пример. Пусть имеется ряд значений:

-0,60; -0,19; -0,13; -0,10; -0,09; -0,06; -0,02;

-0,03; -0,04; 0,08; 0,9; 0,17; 0,21; 0,27; 0,43

Интерес представляет минимальное значение -0,60 и максимальное 0,43, которые существенно удалены от основной совокупности наблюдений.

Используем критерий Граббса по отношению к минимальному отклонению х₁ = -0,60.

,

Критическое значение С_0,05, отвечающее уровню значимости α = 0,05 находится из табл.15: С_α = 0,5559.

Величина G₁ оказалась меньше, чем С_0,05, поэтому гипотеза об однородности совокупности отвергается и минимальное значение -0,60 должно быть исключено из общей совокупности данных.

Если использовать критерий Т₁, получаем:

Критическое значение С_0,05 = 2,493 (табл.14).

Поскольку Т₁ > С_0,05, x₁ может быть исключено из однородной совокупности и по этому критерию.

Рассмотрим оставшиеся 14 наблюдений и проверим х₁₄ = 0,43 на предмет грубой ошибки. Получаем:

Критическое значение С_0,05, найденное из табл.14 и соответствующее уровню значимости α = 0,05 равно С_0,05 = 0,5340.

Поскольку G₁₄ > С_0,05, нет оснований считать х₁₄ грубой ошибкой.

При рассмотрении критерия Т₁₄ получаем:

.

При С_0,05 = 2,461, Т₁₄ < С_0,05 гипотеза об однородности совокупности принимается и значение х₁₄ должно быть оставлено в совокупности вариационного ряда.