- •Зав. Кафедрой________________а.А.Трещев
- •Зав. Кафедрой________________а.А.Трещев
- •1. Первичная статистическая обработка эксперимента Задание на практическое занятие
- •Порядок выполнения
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Вступление в теорию планирования эксперимента
- •Объект исследования
- •Факторное пространство
- •Проведение эксперимента
- •Пример выполнения
- •2. Интервальные оценки числовых характеристик
- •Пример 2.1 (Matlab)
- •Пример 4.4 (Maple)
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •3. Критерии согласия
- •Пример 3.1 (Matlab)
- •Пример 3.2 (Maple)
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •4. Метод наименьших квадратов
- •Пример 4.1 (Maple)
- •Пример 4.2 (Matlab)
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •5. Обработка результатов эксперимента Задание на практическое занятие
- •Порядок выполнения
- •Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена
- •Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Теоретические сведения Нахождение построчной дисперсии
- •Проверка однородности по критерию Кохрэна
- •Проверка нуль - гипотезы по критерию Стьюдента
- •Проверка адекватности по критерию Фишера
- •Пример выполнения
- •Библиографический список рекомендуемой литературы
Контрольные вопросы
Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?
Дайте общую схему построения доверительного интервала.
Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежности? С увеличением объема выборки?
Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того, известны ли другие параметры точно или нет?
3. Критерии согласия
Допустим, что построенную по выборке статистическую функцию распределения мы сгладили с помощью некоторой гипотетической функции распределения . Возникает вопрос: а верна ли гипотеза о том, что функция распределения именно , а не какая-либо другая? Точнее, не противоречит ли гипотеза о законе распределения результатам эксперимента? Чтобы ответить на этот вопрос, пользуются критериями согласия.
Под критерием согласия понимают некоторую величину , которая отражает количественную меру расхождения гипотетического и эмпирического распределений. Эту величину можно выбрать многими способами, в соответствии с которыми получаются и различные критерии проверки интересующей нас гипотезы. Например, можно положить
или
В первом случае получаем критерий Колмогорова, во втором – критерий Мизеса.
Схема применения критерия согласия следующая. Возьмём настолько малым, чтобы осуществление события с вероятностью можно было считать практически невозможным в единичном опыте. Зная закон распределения случайной величины , найдем ее возможное значение из уравнения . По данной выборке вычислим значение критерия согласия . Если окажется, что , то это значит, что произошло практически невероятное событие. Следовательно, эксперимент опровергает нашу гипотезу, и она отбрасывается. При этом вероятность того, что мы отбросили верную гипотезу, равна . Если , то гипотеза не противоречит эксперименту и должна быть принята. Число называется уровнем значимости критерия.
Колмогоров нашел предельную функцию распределения величины . Эту функцию обычно обозначают :
Формулой можно пользоваться для больших .
Чтобы воспользоваться критерием согласия Колмогорова, нужно построить графики гипотетической и выборочной функций распределения, по графикам найти статистику и вычислить величину . Найти вероятность события по формуле
Если эта вероятность меньше , то гипотеза отвергается, если больше, то признается непротиворечащей эксперименту.
Предположим теперь, что, например, из физических соображений мы можем высказать гипотезу только о виде закона распределения, а параметры, входящие в него, неизвестны. Тогда критерий согласия Колмогорова не применим. В таких случаях часто используют критерий согласия Пирсона.
Всю числовую ось разобьем на непересекающихся разрядов точками . Примем гипотезу о функции распределения. Неизвестные параметры, входящие в нее, заменим их оценками. Таким образом, гипотетическая функция распределения будет известна, и можно будет найти вероятности попадания случайной величины в -й разряд. Возьмем статистику
Здесь – объем выборки, – число разрядов, – число значений в -м разряде.
За меру расхождения между гипотетической и эмпирической функциями распределения примем статистику , определенную формулой . Фишером доказано, что предельным законом распределения статистики является распределение с степенями свободы, если параметры оценены по методу максимального правдоподобия. Здесь – число параметров, входящих в гипотетическую функцию распределения. Доказано также, что при объеме выборки с достаточной точностью можно пользоваться предельным законом распределения, если .
Схема применения критерия Пирсона следующая. По формуле вычисляют значение статистики . Вычисляют вероятность
Здесь определяется формулой , а следует заменить на . Если эта вероятность меньше уровня значимости , то гипотезу следует отбросить.
Применение критериев согласия иллюстрируют примеры 3.1-3.2. В начале генерируется (по методу обратных функций) выборка значений случайной величины, распределенной по показательному закону с заданным параметром . Далее выборка группируется и находится группированная функция распределения, что необходимо для критерия Колмогорова. В соответствии со схемой применения критерия Колмогорова, задается теоретическая функция распределения , и по этим значениям вычисляется статистика . Вычисляется вероятность по формуле и сравнивается с уровнем значимости .
В следующем разделе примеров применяется критерий Пирсона, Отметим, что, поскольку критерий Пирсона работает с плотностью распределения, для него может понадобиться другая группировка той же исходной выборки. Теоретическая плотность распределения может быть получена дифференцированием ранее введенной функции распределения. Теперь можно вычислить значение статистики и оценить вероятность , сравнивая ее с уровнем значимости .