Основное преимущество факторного эксперимента

Основное преимущество факторного эксперимента заключается в том, что в эксперименте варьируются одновременно все факторы. Это приводит к тому, что дисперсия в оценке коэффициентов регрес­сии оказывается в N раз меньше ошибки опыта.

При классическом подходе эксперименты ставятся в определен­ной последовательности: все факторы фиксируются на некотором уровне, а один фактор переводят на другой уровень. Затем это повто­ряют для другого фактора. В оценке каждого из коэффициентов уравне­ния участвует только какая-то часть опытов.

Рассмотрим пример двух фак­торов и классический подход в экспериментировании.

Результаты экс­перимента представлены в табл. 3.

Таблица 3. Неоптимальная схема эксперимента для двух факторов

опыты	x0	x1	x2	y
1	+1	+1	+1	y1
2	+1	+1	-1	y2
3	+1	-1	+1	y3

Каждый коэффициент уравнения опре­деляют по двум точкам:

с дисперсией где — ошибка опыта.

При использовании факторного эксперимента следует поста­вить четыре опыта, т. е. реализовать ПФЭ 2². Коэффициенты урав­нения определяют по результатам четырех опытов и дисперсия будет равна:

.

Точность проведения эксперимента в этом случае вдвое выше. Для достижения такой точности при классическом подходе необхо­димо опытов. Еще более показательна эта особенность факторного эксперимента при большом количестве факторов. Так, при числе факторов n = 7 воспользуемся частью (1/16) ПФЭ 2⁷, поставив всего 8 опытов, как и при классическом подходе. Однако дисперсия в оценке коэффициентов уравнения в этом случае будет

против той же, что и ранее . Для такой же

высокой точности при классическом подходе следует поставить 8 • 4 = 32 опыта.

Достоинства ПФЭ:

1. независимость дисперсии переменной состояния от вращения системы координат в центре плана;

2. одинаковую и минимальную дисперсию коэффициентов ре­грессии;

3. независимость определения коэффициентов регрессии друг от друга;

4. простоту в вычислениях коэффициентов.

Последние дна свойства ПФЭ молено оценить па конкретном примере, исполь­зуя понятия матричной алгебры (см. приложение 2).

Рассмотрим план типа ПФЭ 2² (см. табл.1), для которого X – матрица факторов и Y – столбец наблюдений имеет вид:

Найдем произведение матриц:

Система нормальных выражений записывается:

(10)

(11)

Решение системы в общем виде

(12)

Или для конкретного примера:

(13)

Из выражения (13) видно, что свободный член уравнения регрессии b₀ равен среднему арифметическому всех значений выходной переменной (х₀ = 1), а b₁ и b2, находят как среднее алгебраической суммы y_u со знаками столбца х₁ или х₂. Простота расчета коэффициентов уравнения регрессии не вызывает сомнения. Ясно также, что вычеркивание или добавление столбцов x_i не меняет расчет дру­гих коэффициентов, т. е. коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга.

Расчет коэффициентов уравнения.

Таблица 4. План ПФЭ2³

опыты	x1	x2	x3	y
1	+1	+1	+1	y1
2	-1	+1	+1	y2
3	+1	-1	+1	y3
4	-1	-1	+1	y4
5	+1	+1	-1	y5
6	-1	+1	-1	y6
7	+1	-1	-1	y7
8	-1	-1	-1	y8

Реализация матрицы планирования. После построения матрицы планирования приступают непосредственно к эксперименту. Обычно матрицу планирования представляют в виде, удобном для реализа­ции опытов — все кодированные значения факторов заменяют на­туральными. Такую матрицу планирования называют рабочей. В рабочую матрицу также заносят время проведения опытов, зна­чения ограничительных переменных и некоторые временные изме­нения в анализируемых пробах. Такая подробность в описании условий эксперимента очень часто бывает полезной в принятии ре­шений о достоверности тех или иных опытов, о влиянии системати­ческих ошибок и др.

Поскольку на изменение выходной переменной влияют помехи, план чаще всего реализуют несколько раз, получая m параллель- пых значений переменной состояния. Первоначальное число m выбирают по результатам предварительного эксперимента или с помощью специально поставленных опытов, оценивающих их вос­производимость.

Для того чтобы избежать появления некоторой неслучайной связи между реализациями каждого эксперимента или серии экспе­риментов, рекомендуется, опыты рандомизировать во времени. Здесь рандомизация предполагает случайное расположение или случайную реализацию плана эксперимента.

Появление и влияние неслучайной составляющей в опытных данных можно показать на следующем примере.

Пример 2. В табл. 4 приведена матрица ПФЭ 2³, полученная с помощью уже описанного приема (см. табл. 3): два раза повто­ряется план 2² — один раз на верхнем уровне фактора х₃, другой раз — на нижнем.

Предположим, что четыре опыта реализуются в первый день, а остальные — во второй день. Предположим также, что условия опытов в эти дни отличались друг от друга на некоторую ошибку (например, сбился нуль измерительного прибора). Тогда при под­счете b₃ получается:

Таблица 5. Последовательность случайных чисел

№п/п	1	2	3	4	5	6	7	8
Рандомизированные опыты	05	02	03	07	06	01	08	04

где — истинное значение коэффициента при х₃. Таким образом, значение b₃ искажается. Отметим, что на b₁ и b₂ не влияет.

Рандомизация обычно проводится следующим образом. В таб­лице случайных чисел из любого столбца выбирают числа в порядке их следования от 1 до N. Если матрица предпола­гает параллельные опыты, то тогда количество случайных чисел возрастает от 1 до mN, т. е. нумеруются не только строки матрицы, но и параллельные опыты. Каждое число от 1 до N или mN из таб­лицы случайных чисел берут только один раз.

Для рассматриваемого примера в таблице случайных чисел были выбраны числа от 1 до 8 в последовательности, которая приведена в табл. 5. Это значит, что опыт № 1 в матрице планирования («+1, +1,+1, табл. 5) реализуется пятым по порядку, опыт № 6 («—1, +1, —1») реализуется первым и т. д.