- •Планирование эксперимента
- •Регрессионный анализ для ортогональных двухуровневых планов
- •Основной эксперимент, планы первого порядка
- •Построение матрицы планирования.
- •Основное преимущество факторного эксперимента
- •Алгоритм расчета полного факторного эксперимента типа 2n
- •1. Построение матрицы планирования
- •2. Расчет коэффициентов уравнения регрессии (линейная форма).
- •3. Расчет ошибки опыта (дисперсии воспроизводимости).
- •4. Принятие решений.
- •5. Проверка значимости коэффициентов регрессии.
- •6. Принятие решений.
- •7. Проверка адекватности линейного уравнения регрессии.
- •8. Принятие решений.
- •Приложение 1 Процентные точки распределения
- •Процентные точки распределения Стьюдента
Построение матрицы планирования.
План, содержащий запись всех комбинаций факторов или их части в кодированной форме, называется матрицей планирования. Табл. 1, например, является матрицей планирования для двух факторов на двух уровнях.
Для построения матрицы планирования с большим числом факторов можно использовать следующий прием.
Элементарное сочетание первого фактора (+1, —1) повторяется для каждого следующего фактора на верхнем и нижнем уровнях. Этот прием распространяется на построение матриц любой размерности. Столбец х0 — это столбец значений фиктивной переменной.
Этот прием построения матриц планирования можно трактовать как прием чередования знаков. Действительно, в первом столбце знаки не меняются, во втором — меняются поочередно, в третьем — они чередуются через два, в четвертом — через 4 и т. д. (по показателям степеней двойки).
Свойства матрицы планирования. Рассмотренные матрицы планирования обладают такими свойствами, которые позволяют считать, что их построение выполнялось оптимально с точки зрения получаемой но результатам реализации матрицы планирования математической модели. Если мы ищем модель в виде уравнения регрессии, то коэффициенты должны быть наилучшими и точность предсказания значений переменной состояния одинакова в любом направлении факторного пространства. Эти требования формулируются как условия ортогональности и рототабельности.
Таблица 2 |
||||||||||
№п/п |
Тип эксперимента |
Факторы |
||||||||
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|||||
1 |
ПФЭ 25 |
ПФЭ 24 |
ПФЭ 23 |
ПФЭ 22 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
||||
3 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
||||
4 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|||
6 |
|
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|||
7 |
|
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|||
8 |
|
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
||
10 |
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
||
11 |
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
||
12 |
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
||
13 |
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
||
14 |
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
||
15 |
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
||
16 |
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
18 |
|
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
19 |
|
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
20 |
|
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
|
21 |
|
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
22 |
|
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
23 |
|
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
24 |
|
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
25 |
|
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
26 |
|
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
27 |
|
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
28 |
|
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
29 |
|
|
|
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
30 |
|
|
|
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
31 |
|
|
|
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
32 |
|
|
|
+1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
Симметричность относительного центра эксперимента - алгебраическая сумма элементов в вектор-столбце для каждого фактора равна 0
(4)
Условие нормировки –сумма квадратов элементов каждого столбцаравна числу опытов.
(5)
где n — число факторов; N —- число опытов (или строк матрицы планирования).
Условие ортогональности предполагает равенство нулю суммы почленных произведении любых двух столбцов матрицы:
(6)
Эти условия легко проверить по табл. 2. Действительно, полный факторный эксперимент типа 2" является ортогональным.
Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) имеют также еще одно свойство — рототабельность.
Рототабельность - предполагает равенство и минимальность дисперсии предсказанных значений переменной состояния для всех точек факторного пространства.
По закону накопления ошибок можно записать для дисперсии предсказанных уравнением регрессии значений переменной состояния:
(7)
где — дисперсия коэффициентов модели bi.
Из условия (6) вытекает, что дисперсии коэффициентов регрессии равны между собой. Тогда можно записать:
(8)
Учитывая, что где радиус сферы:
(9)
Отсюда ясно, что дисперсия предсказанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы. Это свойство рототабельностн эквивалентно независимости дисперсии выходной переменной от вращения координат в центре плана и оправдано при поиске оптимума градиентными методами..