Теории ползучести

Отметим, что в реальных условиях ползучесть, как правило, протекает при изменяющихся напряжениях и температурах, и для описания соответствующих процессов используются технические теории ползучести на базе характеристик, полученных при постоянных напряжениях и температуре.

Обычно для оценки сопротивления материала ползучести получают серию кривых ползучести по результатам испытания образцов при различных постоянных уровнях напряжения. Обрабатывая эту серию кривых ползучести, можно определить константы и параметры аналитических зависимостей соответствующих теорий ползучести и определить пределы ползучести. Сущность теорий ползучести состоит в выборе основных переменных, определяющих процесс ползучести, и установлении функциональных зависимостей между ними. Известны четыре основные теории ползучести, построенные на различных гипотезах.

Теория течения. Основана на предположении существования постоянной зависимости между скоростью пластической деформации, напряжением и временем . Полученное дифференциальное уравнение теории течения справедливо при не слишком малых скоростях ползучести и медленно изменяющихся напряжениях, достаточно больших в начале процесса. Оно нашло применение в расчетах металлических узлов и соединений при высоких температурах.

Теория упрочнения. Под упрочнением подразумеваются такие изменения в материале, которые происходят по мере накопления деформаций ползучести и приводят к снижению скорости ползучести при заданных напряжении и температуре. В данной теории предполагается существование постоянной зависимости между пластической деформацией, скоростью пластической деформации и напряжением . Теория упрочнения удовлетворительно описывает ползучесть при не очень сложных законах изменения внешних нагрузок.

Теории наследственности и старения. В этих теориях принята гипотеза о существовании постоянной зависимости между пластической деформацией, напряжением и временем . Они описываются схожими интегральными уравнениями. В теории старения механические характеристики принимаются зависящими от возраста материала.

При линейной ползучести, если материал конструкции не обла­дает свойством старения, зависимость между напряжениями и де­формацией можно представить в следующем виде:

, (18.6)

где ; - определяет деформацию ползу­чести при единичном напряжении = 1; .

Для функции справедливо равенство с(0) = 0.

Для получения зависимости между напряжением и деформацией при линейной ползучести в теории наследственности взят принцип наложения, согласно которому суммарная деформация ползучести при переменном напряжении может быть найдена как сумма деформаций ползучести, вызванных соответствующими приращениями напряжений. При этом каждая величина деформации ползучести зависит только от величины этого приращения напряжения и продолжительности его действия, но не зависит от величины и длительности действия других приращений.

Согласно принятому принципу наложения, получено выражение:

. (18.7)

где t – время определения деформации; – момент времени приложения нагрузки; - момент времени приращения нагрузки; функция указывает на приращение деформации от напряжения за время .

Функция имеет размерность 1/(сут∙МПа) и выражается различными уравнениями. Для ряда материалов принимают, в част­ности:

, (18.8)

где , - постоянные коэффициенты, характеризующие свойства материалов.

Первое слагаемое в выражении (18.7) соответствует упругой деформации, а интегральный член – деформации ползучести, накапливаемой в образце при действии нагрузки от момента времени до .

Если учесть свойства старения материалов, то величина деформаций ползучести конструкций зависят от возраста материала. В этом случае физические уравнения можно предста­вить в следующем виде:

; , (18.9)

где ; ;

или ; .

Здесь , n, A, B, - постоянные характеристики материалов конструкций.

В общем случае, когда переменными являются как напряжение, так и деформация соотношения между ними с учетом свойства на­следственности и строения в рамках линейной теории записывается в виде:

. (18.10)

Здесь вводим обозначения:

. (18.11)

Теория ползучести, в основу которой положено выражение (18.10), носит название теории наследственного старения.

Соотношения наследственной теории ползучести были предложены Л.Больцманом в 1874 г. и развиты В. Вольтерра в 1909 г., а уравнения теории наследственного старения – Г.Н.Масловым и Н.Х.Арутюняном в 40-х годах XX столетия.

Линейное соотношение между напряжениями и деформациями (18.10) отличается от закона Гука для упругого материала только тем, что вместо величины 1/E здесь имеется интегральный опе­ратор. Отсюда следует следующее простое правило построения решения задачи теории линейной ползучести, которое носит наз­вание принцип Вольтерра.

Решение задачи по теории линейной ползучести может быть получено из решения аналогичной задачи в упругой постановке, далее следует заменить упругие постоянные интегральные операто­ры и произвести необходимые операции над ними.

В частности, если в известных упругих решениях предполагать, что они записаны в изображениях Лапласа, т.е. заменить упругие постоянные изображениями соответствующих операторов теории ползучести и применить операции переходов от изобра­жений к оригиналам искомых функций, получим решение соот­ветствующее задаче с учетом ползучести материалов конструкции.

Отметим, что в настоящее время при решении многих инже­нерных задач, как в области механики твердого деформируемого тела, так и других отраслях, широко применяется метод интеграль­ного преобразования Лапласа. Этот метод особенно эффективен при решении линейных дифференциальных, интегро-дифференци­альных и интегральных уравнений, а также систем, состоящих из вышеуказанных типов уравнений. Суть его является следу­ющей. Если имеется некая искомая функция от действительной переменной t, обозначая через образ искомой функции ком­плексной переменной , т.е. изображение заданной функции по Лапласу, тогда формулы по определению оригинала и его изобра­жения имеют следующие представления:

,

где i - мнимая единица, а - некоторая постоянная, на действи­тельной оси.

В качестве примера реализации изложенного подхода при решении инженерных задач рассмотрим расчет прогиба свободного конца консольной балки (рис.18.6), в момент времени t = 0 загруженной равномерно рас­пределенной нагрузкой, постоянной во времени. Материал балки харак­теризуется линейной ползучестью, для которого

.

Рис. 18.6

По методу начальных параметров в упругой постановке задачи решение записывается в виде:

. (18.12)

Заменим на .

Тогда выражения перемещения (18.12) в изображениях Лапласа принимает вид:

. (18.13)

Здесь определяется из (18.8):

. (18.14)

С учетом (18.14), (18.13) принимает вид:

.

Выполняя операции обратного преобразования Лапласа, получим:

. (18.15)

Отсюда следует, что при действии постоянной нагрузки прогиб балки с течением времени возрастает по экспоненциальному зако­ну и при принимает следующее предельное значение:

,

где - упругое перемещение, т.е. перемещение балки в точке А при t = 0.

В статически неопределимых упругих системах распределение усилий либо не зависит от упругих постоянных, либо зависит.

В первом случае, как и в статически определимых системах, напряженное состояние при ползучести совпадает с напряженным состоянием упругой системы, если функции , одинаковы для всех элементов конструкции. Меняется только деформированное состояние.

Во втором случае, который может встретиться, например, при расчете конструкций из разномодульных материалов, изменение во времени претерпевает не только деформированное, но и напряженное состояние.

Пример 1.

Для металлической двухпролетной балки (рис.18.7, а), при сле­дующих исходных данных: q = 2 кН/м; Р = 10 кН; = 20×10^-4 м⁴; Е₀ = 2×10⁸ кН/м²; а = 3 м; g = 2×10^-2 1/cут; k = 1,3; требуется опреде­лить перемещение за счет изгиба конструкции в сечениях А и С, предполагая материал конструкции упругим, далее - линейно пол­зучим.

Решение: