Предельное состояние статически определимых систем при кручении

Предельным состоянием для идеально пластического материала будет такое, при котором касательные напряжения во всех точках поперечного сечения станут равными пределу текучести (рис. 20.7).

При упругом кручении круглого стержня максимальные касательные напряжения в контурных точках определяют по формуле Выражение для предельного крутящего момента как результирующего момента, возникающего в поперечном сечении (рис. 20.7) от внутренних касательных напряжений , имеет вид

где W_p,pl – пластический момент сопротивления при кручении, который для сплошного круглого поперечного сечения вычисляется по формуле

а для кольцевого сечения с наружным D и внутренним d диаметрами по формуле

Пример 5.

Стальной стержень сплошного круглого сечения диаметром d = 5 см, жестко закрепленный с обоих концов, нагружен крутящим моментом М_u (рис.20.8, а). Определить предельный крутящий момент, если предел текучести материала стержня при кручении =150 МПа.

Решение.

В предельном состоянии в поперечных сечениях стержня возникают предельные крутящие моменты Т_u, равные

Выделим часть стержня сечениями I–I и II–II (рис. 20.8, б). На оставшуюся часть стержня в предельном состоянии кроме момента M_u действуют моменты T_u, приложенные по торцам оставшегося участка и направленные в сторону, противоположную M_u. Составим уравнение равновесия:

или M_u = 2T_u.

Окончательно величина предельного внешнего крутящего момента будет M_u = 2T_u = = 9,82 кНм.

Предельное состояние статически определимых систем при изгибе

Напряженное состояние изгибаемых конструкций (балок) определяется величинами изгибающих моментов. При плоском поперечном изгибе изгибающий момент, не может быть больше момента текучести:

или

где и – соответственно статические моменты верхнего и нижнего полусечения относительно нейтральной оси z; W_z,pl – пластический момент сопротивления.

Например, для прямоугольного поперечного сечения (рис. 20.9, а, б):

В балках при достижении наибольшими изгибающими моментами значений M_u образуются пластические шарниры (рис. 20.9, а). В этом случае изгибающий момент в сечении равен предельному M_u и не может увеличиваться, а деформирование балки далее происходит при постоянном значении изгибающего момента в пластическом шарнире.

Статически определимая балка имеет предельную нагрузку соответствующую образованию пластического шарнира в наиболее напряженном сечении, когда балка превращается в механизм.

Статически неопределимая стержневая система или балка при разрушении тоже превращается в механизм. При этом в балках или рамах необходимо образование стольких пластических шарниров, сколько требуется для превращения их в механизм.

Пример 6.

Дана стальная однопролетная шарнирно опертая балка, нагруженная по всему пролету равномерно распределенной нагрузкой q = 20 кН/м, расстояние между опорами l = 3 м. Подобрать сечение прокатной двутавровой балки, если R_y = 240 МПа, = 1, и определить, во сколько раз необходимо увеличить равномерно распределенную нагрузку q, чтобы в балке образовался пластический шарнир. Принять предел текучести стали R_yn = 285 МПа. Собственным весом балки пренебречь.

Решение.

Определяем максимальный изгибающий момент в середине пролета балки:

Находим необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки:

По сортаменту выбираем двутавр № 16 с W_z = 109 см³ и статическим моментом площади полусечения относительно нейтральной оси z – = = 62,3 см³.

По формуле находим момент текучести

И, наконец, определяем n = M_u / M_max = 35,51/22,5 = 1,58.

Следовательно, если равномерно распределенную нагрузку q =20 кН/м увеличить в 1,58 раза, то в середине пролета в поперечном сечении балки возникнет пластический шарнир и балка превратится в механизм.

Пример 7.

Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шар­нирно опертыми концами, от действия силы P, приложен­ной в середине пролета. В статически определимой бал­ке (рис.20.10), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упру­гой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего мо­мента.

В опасном сечении при достижении напряжений в крайних волокнах величины , заканчивается упругий стадия работы и величина изгибающего мо­мента по теории допускаемых напряжений будет определяться сле­дующими известными соотношениями:

, (20.28)

откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:

, (20.29)

где W - момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечения где b, h - размеры поперечного сечения (рис.20.10, б).

Рис. 20.10

Таким образом, при расчете балки (рис.20.10, а) по теории до­пускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, оп­ределяется по:

. (20.30)

Однако, очевидно, что при , вычисленной по формуле (20.30), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способ­ность. При увеличении нагрузки, пластические деформации прони­кают вглубь сечения, вплоть до появления в нем пластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки пере­шли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напря­жений во всех точках в опасном сечении принимает значение (рис.20.10, б).

Согласно диаграмме дефор­мирования материала по Пран­дтлю, продольные волокна бал­ки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие де­формации. В этих условиях можно говорить о формирова­нии пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис.20.11). Это означает, что с возникновением пластического шарнира про­исходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. задан­ная система разрушается. Величину силы, вызывающую образова­ние в балке пластического шарнира, называют предельной си­лой метода предельного состояния.

Рис. 20.11

Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного се­чения балки:

; , (20.31)

откуда получим:

. (20.32)

Величина называется пластическим моментом сопро­тивления.

Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равно­весия, то получим, что .

Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предвари­тельно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.

В таблице 20.1 приведены значения отношения для неко­торых стандартных форм сечений.

Таблица 20.1

Форма сечения
	1,16	1,27	1,50	1,70	2,00

Расчет статически неопределимых балок по предель­ному состоянию.

Кинематический и статический способ

При расчете статически определимой балки было установлено, что ее несущая способность исчерпается, когда, хотя бы в одном, т.е. в наиболее опасном сечении пластическая область заполняет все сечение, т.е. когда в этом сечении образуется пластический шарнир и система становится геометрически изменяемой.

Для статически неопределимых балок образование одного плас­тического шарнира не приводит к исчерпанию несущей способнос­ти, т.к. в этом случае степень кинематической определимости сис­темы снижается на одну единицу. В случае n раз статически неоп­ределимой балки исчерпание несущей способности происходит при формировании n + 1 пластических шарниров. Однако в ряде случа­ев часть балки может стать геометрически изменяемой при значи­тельно меньшем числе пластических шарниров.

Например, в статически многократ­но неопределимой балке с консолью (рис.20.12), несущая способность задан­ной системы исчерпается в случае во­зникновения первого же пластического шарнира над крайней правой опорой.

Рис. 20.12

Для расчета статически неопределимых систем по теории пре­дельного равновесия можно воспользоваться одним из двух спосо­бов - кинематическим или статическим.

При применении кинематического способа, в предельном сос­тоянии составляется уравнение работы всех внешних и внутренних усилий на основе принципа возможных перемещений. Этот принцип формулируется так: если система твердых тел находится в равновесии под действием системы сил, то работа, совершаемая этими силами на любом малом возможном перемещении системы, должна быть равна нулю.

При применении статического способа при отсутствии упругого расчета, на основе которого, предварительно можно опре­делить наиболее вероятную схему разрушения конструкции, зада­ются различные схемы разрушения предельной стадии работы рас­сматриваемой системы, и для каждой из них составляются уравне­ния равновесия и определяют­ся предельные значения внеш­них сил. Из их числа, наи­меньшая является расчетной величиной предельной силы.

Из числа рассмотренных схем разрушения, на основа­нии которых определяется пре­дельная сила, является наибо­лее вероятной схемой, разру­шения конструкции.

Рассмотрим несколько ха­рактерных примеров для определения предельной нагрузки для статически неопределимых балок, принимая диаграмму растяже­ния-сжатия материалов без упрочнения, т.е. диаграмму Прандтля.

Пример 8.

Пусть трехопорная балка (рис.20.13, а) нагружена силой величи­ной Р. Эта балка один раз статически неопределимая. На рис.20.13, б изображена эпюра изгибающих моментов, при упругой стадии де­формирования. Для решения этой задачи применим статический способ.

Рис. 20.13

Значение силы , при которой в наиболее опасной точке балки напряжение достигает предела текучести, и может быть уста­новлено из равенства наибольшего момента, действующего в опас­ном сечении, допускаемому: . Откуда, полу­чим:

.

Если балка имеет прямоугольное поперечное сечение, то

,

и, следовательно,

. (20.33)

Наращивая величину внешней силы , пластическая область в опасном сечении В балки увеличивается. При некотором значении силы в сечении В возникает пластический шар­нир, тогда величина изгибаю­щего момента в этом сечении становится равной . При дальнейшем росте внешней силы Р, момент в сечении В остается постоянным и равным . Это означает, что трех­опорная балка приобретает пластический шарнир в т. В. При этом она нагружена силой Р и двумя моментами , приложенных в разных торцах сечения В (рис.20.14, а). Следова­тельно, в данном случае возникновение одного пластического шар­нира превращает один раз статически неопределимую балку в балку статически определимую.

Рис. 20.14

При дальнейшем росте силы Р изгибающие моменты в сече­нии В и на участке АВ не возрастают, а изгибающие моменты на участке ВСD, с ростом величины силы Р, растут. При указанных предположениях, наибольшая величина изгибающего момента фор­мируется в сечении С, где он раньше всего и достигает предельной величины .

Когда в сечении С изгибающий момент достигнет предельной величины , т.е. когда в этом сечении сформируется пласти­ческий шарнир, несущая способность балки исчерпается, вследствие чего, балка превращается в геометрически изменяемую систе­му.

Согласно статическому способу, и учитывая, что наиболее ве­роятная схема разрушения конструкции очевидна и изображена на рис.20.14, б, величина предельной силы определяется из уравнений равновесия и условий равенства изгибающего момента в сечениях пластического шарнира предельному моменту :

Решая совместно последнюю систему уравнений, получим:

, (20.34)

откуда:

. (20.35)

При расчете по методу допускаемых напряжений расчетная величина допускаемой силы определяется:

, (20.36)

где n - коэффициент запаса по несущей способности конструкции.

В случае расчета по методу предельных состояний, величина допускаемой силы, принимает значение:

. (20.37)

Сопоставляя выражения (20.36) и (20.37), получим, что метод рас­чета по предельному состоянию дает величину допускаемой силы в раза больше, чем метод расчета по допускаемым напря­жениям, при условии, что коэффициент запаса в обоих методах принят одинаковым.

В заключении рассмотрим балку с одним защемленным, а вто­рым шарнирно опертым кон­цами, нагруженной двумя оди­наковыми силами (рис.20.15, а).

Рис. 20.15

Определим величину пре­дельной силы кинематиче­ским способом, предложен­ным А.А.Гвоздевым.

Рассматриваемая балка, один раз статически неопределима и, следовательно, ее несущая спо­собность исчерпается в случае образования двух пластических шарниров.

Пластические шарниры мо­гут формироваться в сечениях А, В и С. Для определения предельной нагрузки по кинематическому способу А.А.Гвоздева необходи­мо рассмотреть различные соче­тания образования пластических шарниров в двух сечениях из трех. Число таких комбинаций равно трем, т.е. числу сочетаний из трех пластических шарниров по два.

Для различных вариантов расположения пластических шарни­ров составляются уравнения равновесия, при условии равенства изгибающего момента в сечениях пластического шарнира предель­ному моменту . Из полученных уравнений могут быть опреде­лены величины предельных нагрузок. Действительной предельной нагрузкой будет наименьшая из вычисленных для различных соче­таний пластических шарниров.

Необходимо заметить, что при составлении уравнений предель­ного равновесия системы, можно использовать из трех уравнений статического равновесия всей системы в целом, только два из них. Третье уравнение автоматически будет удовлетворяться. Недостаю­щие уравнения могут быть получены, из рассмотрения равновесия отсеченной части системы, предполагая, что рассматриваемое сече­ние проходит через пластический шарнир.

Рассмотрим различные возможные схемы предельной стадии работы конструкции.

Первая схема, предполагая, что пластические шарниры фор­мируются в сечениях А и В (рис.20.15, б):

откуда . (20.38)

Вторая схема, предполагая, что пластические шарниры фор­мируются в сечениях А и С (рис.20.15, в):

откуда (20.39)

Третья схема, предполагая, что пластические шарниры фор­мируются в сечениях В и С (рис.20.15, г):

откуда, решая совместно эту систему уравнений, получим значения изгибающего момента в заделке и значение предельной нагруз­ки :

(20.40)

Так как условие не может быть реализовано, то третью схему следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

Сопоставляя предельные значения внешней силы, приведенные в (20.38)-(20.39), определяем, что наименьшая предельная нагрузка имеет место при второй схеме предельного равновесия, т.е. когда пластические шарниры формируются в сечениях А и С:

.

Далее рассмот­рим применение кинематического способа - метода предельных сос­тояний для опре­деления величин продольных сил. Действительная схема разрушения системы показана на рис.20.16. Составим уравнения работ всех внутренних и внешних усилий на возможных перемещениях:

. (20.41)

Составляя уравнения совместности, получим:

(20.42)

Рис. 20.16

Уравнение (20.41), с учетом (20.42), примет вид:

откуда . (20.43)

Сопоставляя выражения (20.43) и (20.39), заметим, что кинемати­ческий и статический способы дали идентичные результаты по зна­чению предельной силы.

Пример 9.

Для статически неопределимой балки (рис.20.17, а) по методу предельного равновесного сос­тояния и по методу допуска­емых напряжений определить расчетную величину внешней силы P и сравнить полученные результаты, предполагая, что балка имеет постоянное попе­речное сечение прямоугольной формы с размерами b´h.

Решение.

Сначала рассмотрим рас­чет заданной системы по ме­тоду допускаемых напряже­ний.

Заданная система один раз статически неопределима. Для определения положения опас­ного сечения и величины из­гибающего момента в опасном сечении в упругой стадии ра­боты балки применим метод сил.

Основная система пред­ставлена на рис.20.17, б. На рис.20.17, в и рис.20.17, г в ос­новной системе изображены эпюры моментов от силы X = 1 и P. Далее, по формуле Мора вычисляем коэффициенты канонического уравнения:

Из решения канонического уравнения метода сил:

,

получим:

.

Рис. 20.17

После определения величины опорной реакции Х, построим окончательную эпюру моментов в заданной системе (рис.20.17, д). Откуда следует, что опасным является сечение 1, где значение мо­мента равно .

Предполагая, что в опасном сечении в опасной точке напряже­ние равно по методу допускаемых напряжений определим допускаемую величину внешней силы :

,

откуда

. (20.44)

Для расчета заданной системы по методу предельного равновес­ного состояния, предварительно выразим значения моментов в сечениях 1 и 2 через внешнюю силу P и реакции X возникающей в месте шарнирного опирания:

Исключая опорную реакцию Х из последних соотношений, получим:

. (20.45)

Учитывая, что в предельном состоянии, в данном случае, име­ем: ; ; , уравнение (20.45) преобразуется в виде:

,

откуда окончательно получим:

. (20.46)

Принимая во внимание результаты расчетов по методу допус­каемых напряжений и по методу предельного равновесия, соот­ветственно (20.44) и (20.46), составим отношение:

.

Следовательно,

т.е. несущая способность рассматриваемой системы по результатам расчетов метода предельного равновесия в 1,69 раза больше, неже­ли по методу допускаемых напряжений.