Пример 2.

Для трехстержневой системы (рис.20.4, а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис.20.4, б), при следующих исходных данных: = 30°; l = 1,0 м; А = 2×10^-4 м² - площади поперечных сечений стержней; E = 2×10⁸ кН/м² - модуль упругости материалов стержней; = 2,5×10⁵кН/м² - предел упругости материала; = 3,9×10⁵ кН/м² - временное сопротивление; = 0,02 - значение деформации, соот­ветствующее напряжению , требуется:

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости.

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования.

3. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному со­противлению , т.е. при дальнейшем увеличении силы P проис­ходит разрушение заданной системы.

4. Рассматривая систему (рис. 20.4, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и отно­сительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, рав­ного временному сопротивлению .

Решение.

1. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис.20.4, а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис.20.4, б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

. (20.21)

Рис. 20.4

Согласно деформированной схеме, изображенной на рис.20.4, а, из геометрических соображений, уравнения для опре­деления относительных деформаций записываются в виде:

. (20.22)

С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е. , получим:

. (20.23)

С учетом (20.23) из (20.21) и (20.22) можно получить следу­ющую замкнутую систему уравнений относительно усилий N₁ и N₂:

Откуда определяются:

. (20.24)

Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

(20.25)

Откуда следует, что . Следовательно, в процессе на­гружения сначала средний стержень переходит в пластическую ста­дию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех на­гружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения задан­ной системы, будет наиболее напряженным.

Принимая в (20.25), что и P = P₁, окончательно полу­чим:

кН.

Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

Относительные удлинения стержней принимают значения:

2. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Физические уравнения взамен закона Гука в случае, когда стержни переходят в пластическую стадию деформирования, т.е. при , , в данном случае записываются в виде:

, (20.26)

которое представляет собой уравнение прямой линии, описыва­ющей диаграмму деформирования в области пластических дефор­маций (рис.20.4, в).

В начале по очевидным соотношениям определяется значение деформаций , соответствующее началу пластической стадии де­формирования стержней и модуля деформаций в пластической ста­дии их деформирования:

кН/м².

Заметим, что на данном этапе нагружения, т.е. когда , боковые элементы заданной системы деформируются упруго, а средний элемент - будет находиться в пластическом состоянии.

Учитывая, что при P = P₂ будем иметь , , по­следовательно определим значения усилий и абсолютное удлинение в боковых стержнях при их переходе в пластическую стадию де­формирования:

кН;

м.

Учитывая выражения (20.22) и (20.26) определяется значение абсолютного и относительного удлинения, а также усилия в среднем стержне, в момент перехода боковых стержней в пластическую стадию их деформирования:

м;

м;

кН.

Далее из уравнения равновесия (20.21) вычисляется величина внешней силы P = P₂:

кН.

3. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разруше­ние заданной системы. Сначала вычисляем значения удлине­ний в боковых стержнях, при достижении в среднем стержне пре­дельных напряжений и деформаций , .

Учитывая, что получим:

.

Таким образом, к моменту разрушения среднего стержня ( , ) боковые стержни также находятся в пластической стадии деформирования. Напряжения в боковых стержнях, в мо­мент разрушения среднего стержня, принимают значения:

кН/м².

Для определения величины внешней силы P = P₃, т.е. значения силы в момент разрушения среднего стержня из уравнения равно­весия (20.21) имеем:

кН.

Как показывают результаты расчетов, для перехода среднего стержня в пластическую стадию деформирования необходима была внешняя сила P = P₁ = 119,5 кН, а для его разрушения - P = P₃ = 200,97 кН.

На основании полученных результатов можно заметить, что если бы мы ограничивались только учетом упругой стадии работы конструкции, т.е. P £ P₁, то несущая способность заданной систе­мы оценивалась бы как P = P₁ = 119,5 кН.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позво­лил выявить дополнительные резервы несущей способности задан­ной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P = P₃ = 200,97 кН.

В заключении определим величины абсолютных удлинений стержней в момент разрушения среднего стержня:

м;

м.

Легко определить во сколько раз абсолютные удлинения стерж­ней возросли за счет возникновения пластических деформаций по отношению к их абсолютным удлинениям в момент перехода среднего стержня от упругой к пластической стадии деформирова­ния:

раз;

раз.

4. Рассматривая систему (рис.20.4, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов сис­темы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элемен­тах напряжения достигают значения, равного времен­ному сопротивлению . Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически опреде­лимую. Применяя метод сечений, легко установить, что уравнения равновесия в данном случае принимают следующий вид:

. (20.27)

В конце упругой стадии работы элементов заданной системы имеем, что , . С учетом данного обстоятельства последовательно определим значение усилия N₁, абсолютное удли­нение стержней и величину силы P = P₁, соответствующих концу упругой стадии работы данной системы:

кН;

м;

кН.

При дальнейшем нагружении системы, то есть при P > P₁ = 86,6 кН, элементы данной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Последовательно определим значение внутренних усилий, абсолютных удлинений и величину разруша­ющей силы P = P₂, при достижении напряжений и деформаций предельных значений. Т.е. при , :

кН;

м;

кН.

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы.

Как и для трехстержневой статически неопределимой системы, так и для двухстержневой статически определимой системы, учет пластических деформаций позволил выявить дополнительные ре­зервы систем по несущей способности. Если бы мы ограничились только упругим расчетом, расчетная несущая способность двух­стержневой системы была бы равна P = P₁ = 86,6 кН. А за счет учета упруго-пластической работы элементов системы, как было показано, несущая способность будет исчерпана при P = P₂ = = 135,1 кН, т.е. при нагрузке в 1,56 раза больше, чем при упругом расчете.

Далее заметим, что за счет удаления одного среднего элемента из исходной системы, несущая способность и жесткость системы, соответственно, уменьшилась в и в раз.

Пример 3.

Определить предельную нагрузку F_u для стержневой системы, показанной на рис.20.5. Предел текучести материала стержней принять = 2900 кг/см².

Решение.

Пусть течет стержень 1 (рис. 20.5, а), тогда

Спроектируем все силы на ось m–m (рис. 20.5, б):

откуда находим

Если же предположить, что течет стержень 2, то будем иметь

Спроектируем все силы на ось k–k (рис.20.5, в):

откуда определяем

Таким образом, получили два значения предельной нагрузки

F_u1 = 9743 кг и F_u2 = 8886 кг,

из которых истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим:

Пример 4.

Дано А₁ = 4 см², А₂ = 3 см², А₃ = 2 см², = 285 МПа.

Определить предельную нагрузку F_u для системы стержней (рис. 20.6, а).

Решение.

Определим предельные нормальные усилия, которые могут возникнуть в стержнях системы:

= 114 кН;

= 85,5 кН;

= 57 кН.

Для образования механизма рассматриваемой системы достаточно течения каких-либо двух стержней. Возможны три механизма разрушения.

Первый механизм разрушения. Пусть текут стержни 2 и 3, а стержень 1 работает еще в упругой стадии (рис. 20.6, б). Проводим ось а–а, перпендикулярную направлению нормальной силы N₁. Проектируем все силы на эту ось: и определяем

Второй механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 3, а стержень 2 работает в упругой стадии (рис.20.6, в). Проводим ось б–б, перпендикулярную направлению оси стержня 2. Проектируем все силы на эту ось:

и находим

При возникновении второго механизма разрушения стержень 2 будет вращаться вокруг шарнира А (рис.20.6, а), следовательно, стержень 1 будет растягиваться, а стержень 3 сжиматься (рис.20.6, в). В этом случае полагаем, что N_u3 = 0, т.е. его влияние идет в запас прочности конструкции, так как предполагаем, что сжатый стержень теряет устойчивость и в нем нормальные напряжения не достигают значения предела текучести.

Третий механизм разрушения. Пусть текут стержни 1 и 2, а стержень 3 работает в упругой стадии (рис.20.6, г). Проводим ось в–в, перпендикулярную направлению оси стержня 3. Проектируем все силы на эту ось:

, откуда

Истинное значение предельной нагрузки будет наименьшим из полученных трех нагрузок F_u1, F_u2, F_u3: