![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 2. Нелинейное программирование
- •2.1. Математическая постановка задачи
- •2.2. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа равенства
- •2.3. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа неравенства
- •2.4. Метод Лагранжа для задачи со смешанными ограничениями
- •2.5. Задача квадратичного программирования
- •2.6. Задачи и вопросы для практической работы
2.6. Задачи и вопросы для практической работы
Задача 1.
Построить область допустимых решений задачи, заданной с помощью следующих условий:
Найти максимум и минимум линейной
функции на множестве решений задачи с
областью решений б) и в). Какая точка
множества D с описанием
в) максимизирует функцию f(x)
= х1х2? Как
изменится это решение, если в ограничении
равенство превратить в неравенство
типа «
»?
Задача 2. Дана задача квадратичного программирования
,
где
симметричная
матрица, А - (nхm)
- матрица полного ранга, квадратичная
форма
отрицательно
определена. Сформулировать ответы на
следующие вопросы.
а) Построить функцию Лагранжа и найти условия оптимальности решений.
б) Найти выражение для х* в зависимости от параметров c, b, A и Н. Убедиться в том, что х* - глобальное решение задачи;
в) убедиться в том, что параметры чувствительности ¶x*/¶c и ¶x*/¶b меняются линейно. Какова форма зависимости параметров чувствительности ¶f*/¶c и ¶f*/¶b ?.
Задача 3. Исследовать решение задачи
(D,
f): f(x)
=
,
в которой Н-
симметрическая (n
х n) -
матрица. Пусть
-
решение этой задачи. Показать что
величина f(x*)
равна наибольшему собственному числу
матрицы Н, т.е.
,
где
отвечает уравнению (задаче на собственный
вектор)
.
Исследовать решение при следующих
данных:
.
Собственные числа этой матрицы
удовлетворяют уравнению
.
Задача 4. В регрессионном анализе
применяется метод наименьших квадратов
для аппроксимации существующей связи
между целевой переменной У и
независимыми факторами х1,
..., хn с помощью
результатов наблюдений (yj,
x1j,…,
xnj),
j = 1, …, N,
причем, исследуемая (или предполагаемая)
модель представляется в виде
или в матричной форме
.
Подлежащие оцениванию параметры
находятся из задачи
Показать, что решением этой задачи
является так называемые МНК- оценки
где Х – Nх(n+1)
- -матрица результатов наблюдений,
вектор значений целевой переменной.
Убедиться в том, что значение b
является единственным, которое
минимизирует целевую функцию E(
.
Найти выражение для b,
когда результатами наблюдений являются:
Y = (3.5, 4.8)T,
x1
= (-1, -2)T,
а исследуемая зависимость линейна,
т.е.
.
Задача 5. Решить задачу и исследовать условия теоремы Куна – Таккера:
.
Построить графическое решение задачи. Найти точку безусловного максимума функции f(x). Как изменится решение задачи, если рассмотреть лишь одно из двух ограничений типа неравенства?
Задача 6. Исследовать параметрическую задачу
,
где a, b, c- фиксированные параметры. Найти решение задачи для следующих данных: а = 0, b = c = 1 и иллюстрировать его графически. Получить условие теоремы Куна - Таккера и найти значения параметров, при которых решение существует.
Задача 7. Решить задачу со смешанными ограничениями
.
Как изменится решение задачи, если
второе ограничение превратить в
?
Построить и исследовать условия теоремы
Куна - Таккера для обоих случаев.
Исследовать влияние условий
на оптимальное решение задачи.
Задача 8. В задаче потребительского
выбора функция полезности видов благ
q1 и q2
задана в виде аддитивной функции
u(q1,
q2) =
400 - (q1-12)2
- (q2
- 16)2, а
бюджетное ограничение имеет вид
.
Найти оптимальные объемы
и
,
которые максимизируют функцию полезности.
Исследовать влияние цен p1 и p2
на оптимальное решение этой задачи.
Величины q1¶u/¶q1 и q2¶u/¶q2 характеризуют локальные эффекты для благ q1 и q2 и равны соответственно
q1¶u/¶q1 = h1u(q1, q2), q2¶u/¶q2 = h2u(q1, q2),
где h1 и h2 – так называемые эластичности (или относительные чувствительности) функции полезности по отношению к величинам благ q1 и q2. Найти наибольшее значение величин h1u(q1, q2) и h2u(q1, q2) и сравнить полученные результаты с оптимальным решением задачи
h1u(q1, q2) + h2u(q1, q2) .
u = 300
Убедиться в том, что для различных уровней функции полезности u = const (кривые безразличия) решения задачи лежат на прямой линии, которая соединяет начало координат с точкой (12, 16)Т. Дать этим построениям геометрическую интерпретацию
Задача 9. Производственный план
фирмы предполагает определение
интенсивностей производства двух
товаров, которые удовлетворяют ресурсному
ограничению
и находятся на минимальном расстоянии
от точки с координатами (200, 150)Т.
Исследовать влияние цен р1
и р2 и
объема ресурса b на
искомое решение задачи.
Задача 10. Решить задачу
Исследовать решение задачи, когда
предпоследнее ограничение имеет вид
.
Дать этим решениям графическую
интерпретацию.