2.3. Метод Лагранжа для задачи с ограничениями типа неравенства

Рассмотрим теперь задачу математического программирования в виде

. (3.1)

q_i(x) ≤ b_i , i = 1,…,r

Как видно, в задаче имеются r ограничений, заданных в виде неравенств. В них величины b_i обычно интерпретируются как ресурсы, а функции q_i(x) – как потребление этих ресурсов. В предположении, что все функции в этой задаче непрерывно дифференцируемы на открытом подмножестве можно применить по отношению к ней технику решения задачи с равенствами. Для этой цели преобразуем неравенства в равенства, преобразуя их в виде

q_i(x) + u_i² = b_i , i = 1,…, r, (3.2)

и представим функцию Лагранжа в виде

. (3.3)

Согласно теореме Куна – Таккера, необходимые условия локального оптимума решения х^* будут иметь вид

L(x^*,)/x_j = f(x^*)/x_j + q_i(x^*)/x_j = 0, j =1, …, n,

L(x^*,)/ _i = q_i(x^*) + u_i² – b_i = 0, i =1, …, r,

L(x^*,)/u_i = 2_Iu_i = 0, , i =1, …, r, (3.4)

Из последних условий следует, что _i u_i² = 0, , i =1, …, r. Тогда вторая группа условий примет вид

_i(q_i(x^*) – b_i) = 0, i =1, …, r. (3.5)

Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости Слейтера (как и в задаче линейного программирования). Они показывают, что, либо q_i(x^*) – b_i  0 _i = 0, либо q_i(x^*) – b_i = 0, а _i произвольное. В теории нелинейного программирования доказывается, что _i  0, , i =1, …, r, кроме того, f(x^*)/b_i = _I, , i =1, …, r, другими словами, _i представляют собой коэффициенты чувствительности оптимального значения целевой функции относительно ресурсов b_i, i =1, …, r. Теперь, объединив все необходимые условия оптимальности, окончательно получим

L(x^*,)/x_j = f(x^*)/x_j + q_i(x^*)/x_j = 0, j =1, …, n,

L(x^*,)/ _i = q_i(x^*) – b_i  0, i =1, …, r,

_i(q_i(x^*) – b_i) = 0, i =1, …, r

_i  0, , i =1, …, r, (3.6)

или в терминах векторов-градиентов _xL, _L, _хf и _xq:

,

.

^Т(q(x^*) – b) = 0,   0, (3.7)

Эти условия предполагают, что векторы-градиенты _xq_i(x^*), , i =1, …, r, линейно независимы; тогда из первого условия системы (3.7) следует представление

, (3.8)

что аналогично условию (2.4). В общем случае решение системы (3.6) требует большой изобретательности, так как система содержит и равенства и неравенства. По-прежнему, теоретическим фундаментом решения служит теорема Куна – Таккера: если функции имеют непрерывные частные производные на множестве, x^* – некоторое локальное решение задачи (3.1) и в этой точке векторы _xq_i(x^*), , i =1, …, r, линейно независимы, то существуют неотрицательные числа _i  0, , i =1, …, r, такие, что имеют место условия (3.6).

Иллюстрируем данный подход на примере решения задачи минимизации производственных затрат.

Коммерческая фирма производит некоторую продукцию, используя при этом п

производственные факторы q₁, q₂, …,q_n с рыночными ценами р₁, …, р_п, так что производственные затраты составляют r(q) = единиц. Производственная функция задана в виде функции Кобба – Дугласа . Необходимо найти значение производственных факторов q₁, q₂, …,q_n, которое минимизирует функцию затрат при заданном плане на выпускаемую продукцию.

Математическая задача производственной деятельности фирмы имеет вид

(3.9)

F (q₁,…,q_n) ≥ y

где y – план выпуска.

Для задачи (3.9) функция Лагранжа примет вид

, (3.10)

следовательно, на основе необходимых условий теоремы Куна – Таккера получим:

а) ,

b) ,

c) ,

д) , (3.11)

Из условия а) следует, что , так как p_j  0 и F/q_j   , j = 1, …, n. Тогда из д) получим

. (3.12)

Далее учитывая, что

, j = 1, …, n, (3.13)

из b) получим соотношение , j = 1, …, n. Откуда, в частности, следует, что , к = 2, …, n, т.е. производимые затраты на отдельные виды факторов пропорциональны величинам , к =1, …, п.

Рассмотрим частный случай, когда n = 2, P₁ = 10, P₂ = 15, y = 10000, , .

Тогда из условия а) получим

,

.

Взяв их отношение, можно написать

,

тогда из выражения для производственной функции следует, что

,

или окончательно,

,

Из экономической теории известно, что задачи минимизации издержек и потребительского выбора симметричны относительно друг друга. Полученные нами результаты также иллюстрируют эту симметрию. Она изображена также на приведенных ниже рисунках.

q₂

q₁

max

u=max

q₂

q₁

q₁

q₂

F = y

min

r =min

Рис.3.3. К иллюстрации симметрии решений задачи

потребительского выбора (левый рисунок) и задачи

минимизации затрат (правый рисунок).