Три стороны задачи

ф

ε_х= ( ) – (10)

ε_у= ( ) – (11)

обратная формула

– (10^`)

= – (11`)

– (12`)

ормулы

y

+ + =0 (1)

+ + =0 (2)

(3)

= l+

= n+

l=cos(x,)

n=cos(y,)

Вопрос:

Общая постановка задачи ТУ выполняет:

задание условий запрещения и условия нагружения на контуре

u = u^* Х_ν=…………..

^{V = V*} У_ν=…………..

а в области тела – объемные силы

,

а также решения статич., геометр. и физических уравнений (1-8) в области.

Восемь уравнений и восемь неизвестных!

Доказана теорема об единственности решения!

На основе этой теоремы можно построить обратный метод решения

Отметим, общее решение (х) дифференциального уравнения равновесия с помощью функции напряжения ε(ху) и возможности сведения решения плоской задачи ТУ к одному уравнению ▼²▼² ε(ху)=0

Отметим возможность выражения закона Гука в прямой (6-8) и обратной (6^{`</sup>-7<sup>`}-8^`) формах.

Г₁

Два метода решения плоской задачи:

1. В перемещениях u(х, у)=? V(х, у)=?

Сводится к двум уравнениям, выражающим условия равновесия с учетом геометрических и физических зависимостей

2. В напряжениях σ_х=?, σ_у=?, τ_ху=?

три уравнения

3 . С помощью ε(х, у) ▼²▼² ε(ху)=0

Используем общее решение

которое подставляем в (3):

при = =const

или

Бигармоническое уравнение

Два вида плоской задачи сводятся к одному типу разрешаемых уравнений, благодаря физическим модулям , и ,

при плоском напряженном состоянии главный вектор напряжений лежит в плоскости х,у, т.к. σ_z=0

н о деформация ε_z ≠ 0 ε_z=

При плоской деформации ε_z = 0, но σ_z= μ(σ_х +σ_у) ≠ 0

главный вектор деформации лежит в плоскости х,у, т.к. ε_z = 0.

Примеры снижения размерности задач

Некоторые трехмерные задачи при определенных условиях могут быть приведены к двумерным т.е. плоским задачам.

Аналогично: некоторые двумерные задачи – сведены к одномерным.

Если же условия однотипности выделяемых элементов (по форме и размерам исходного тела и его нагружении) не выполнимы, то прием снижения размерности не применим.

x z y Трехмерная задача сведена к 2х мерной плоской задаче

Двухмерная задача сведена к одномерной задаче

Можно ли в таком случае снизить размерность задачи, т.е. упростить ее ?

Расчет пространственной (3х мерной) плотины сводится к плоской задаче. Учитывается вес плотины и нагружения напорной грани. Используя принцип Сен-Венана, рассматриваем только верхнюю часть плотины, т.е. считаем что удаленная от верха фундаментная часть и основание плотины мало влияют на НДС ее верхней части. Формулируем граничные условия: по два на каждой грани. Решаем плоскую задачу с помощью ξ(ху) обратным методом. Задаемся полиномом ξ(ху) третьей степени, т.к. НДС плотины содержит изгиб и внецентренное сжатие – растяжение. Для определения 4-х коэффициентов имеются 4-е граничных условия.

Бигармоническое уравнение 4-го порядка удовлетворяется при любых коэффициентах a, b, c, d, т.к. полином третьей степени.

Таким образом, решение сводится к определению a, b, c, d, которые удовлетворяли бы 4-м граничным условиям (уравнениям). Есть основание полагать, что заданный полином ξ позволит решить задачу, т.к. он удовлетворяет бигармоническому уравнению и всем граничным условиям на гранях х=0 и х=уtgβ. Если бы этого не случилось, то пришлось бы делать вторую попытку, внося коррективы в полином ξ(х,у). Определили a, b, c, d и вычисляем напряжения

σ_х= , σ_у= , τ_ху=- ,

Строим эпюры и траектории главных напряжений (учитываем, что на гранях касательные напряжения =0, т.е. что они являются главными площадками).

Находим, что при β ≥ 35^○ растягивающие напр. σ_у отсутствует. Гравитационная плотина может быть сложена из прижимающихся друг к другу камней-блоков.

Расчёт гравитационной плотины

треугольного профиля (верхней части)

	Статические уравнения
	Геометрические уравнения Пример. Толстостенная труба Физические уравнения
	Осесимметричная задача
При r При r Граничные условия:

Пространственная задача ТУ. Учет третьего измерения приводит к увеличению числа разрешающих уравнений

статических уравнений – 3 с учетом взаимности касательных напряжений

геометрических ур-ий – 6 (и шесть уравнений неразрывной деформации)

физических уравнений – 6

Всего 15 уравнений с 15 неизвестными.

σх σу σ_z ε_х ε_у ε_z u V W

τ_ху τ_xz τ_yz γ_xy γ_xz γ_yz

Прикладная теория упругости отличается введением новых гипотез (типа гипотез сопротивления материалов). Рассмотрим поперечный изгиб точных плит. Учитывая толщину плиты и только поперечную нагрузку q_z, вводим гипотезы ненадавливания волокон, прямой нормали к изогнутой срединной поверхности, и недеформируемость срединной поверхности) сводим трехмерную задачу к двумерной с искомой функцией прогибов w(х,у); а u=-z , V=-z

Разрешающее уравнение ▼²▼² w(x,y)= , с заданными условиями закрепления плиты

Физическая картина работ тонкой плиты на поперечный изгиб:

изгиб в двух направлениях, сопровождающийся взаимным скручиванием

σх → М_х (х,у) М_х (х,у) ← σ_у

τ_ху → Н_ху (х,у) Н_ху (х,у) ← τ_ух

τ_yz → Q_xz Q_xz ← τ_уz

Эти усилия изображены на рис.

Там же показаны напряжения, которые образуют эти усилия.

Вывод геометрических, физических и статических уравнений и выражение их через искомую функцию прогибов w(х, у)

Геометрические Статические	Физические Находим из условий равновесия
dy
▼2▼2 w(x,y)= , Д =

Условия закрепления. На каждом крае по два условия, что соответствует порядку уравнения С. Жермен

На свободном крае три условия также сведены к двум.

Ближе к реальным условиям:

• опирание на упругую балку

• опирание на упругие опоры

При Y=0 : 1)W=0; 2)

Цилиндрический изгиб тонкой плиты возможен при условиях неизменности формы, условия закрепления плиты и нагрузки в направлении длинных сторон. Расчёт сводится к изгибу отдельной (условной) балки с жесткостью Д.

;

Д =

1

X

q

Нагрузка q_z и прогибы W не зависят от у

Сравнение НДС

отдельная балка

«балка», выделенная из плиты

Поперечный изгиб пластинки, контур которой очерчен по эллипсу:

Используем обратный метод решения.

Задаем W = C и проверяем условия при которых такой прогиб возможен:

Уравнение С. Жермен удовлетворяется при условии постоянного коэффициента

С =

Условия закрепления на контуре

1) W=0 2)

т.е. данная пластина жестко защемлена на контуре и загружена постоянной нагрузкой q=const.

Частный случай: при а=b имеем круглую пластину.

Видно, что прогибы и изгибающие моменты в плите значительно меньше, чем у балки-полоски выделенной из плиты, т.к. плита изгибается в двух направлениях.

Исследуем изгиб прямоугольной в плане плиты.

Обратным методом.

Задали W=A sin sin

при этом на контуре 1). W=0 2). , т.е. М_n=0

т.е. опирание шарнирное.

Уравнение С. Жермен удовлетворяется при условиях

q_z = q₀ sin sin и А=

Это решение можно обобщить на другую нагрузку задания

W= A_mnsin sin

Отметим, что такие ряды довольно быстро сходятся.

Примеры решения изгиба таких плит обратным методом

Пример 1. W=ax²+by² – дает чистый изгиб в двух направлениях моментами, приложенными на контуре. Крутящие моменты Н=0. Форма изогнутой поверхности – двояковыпуклая оболочка

Уравнение С. Жермен удовлетворяется при любых «а» и «b»

Пример 2.

Уравнение w=kxy удовлетворяет уравнению С. Жермен при любом «К».

Получаем условия на контуре: крутящие моменты Н=const, изгиб М_х=М_у=0

Формула изогнутой поверхности: гиперболический параболоид (гипар.)

Пример

Для пластинки круглого очертания в плане удобно использовать полярную систему координат (r, θ).

Выбор (изменение) системы координат, конечно, не меняет принципиальные зависимости, т.е. уравнение С. Жермен и т.д.

НДС пологих тонких оболочек содержит изгибное (как в тонкой плите) – М_х, М_у, Н, Q_x, Q_y и мембранное (как в плоской задаче) - N_х, N_у, S состояния. Их расчёт сводится к РЕШЕНИЮ системы из двух уравнений с искомыми W_(xy) и φ_(xy). Аналогом в стержневой системе может служить пологая арка, в которой возникают изгибающие моменты М и продольные силы N. Эффективной конструкцией является арка с рациональной осью, в которой М=0. Аналогично можно выбрать рациональную форму пологой оболочки, в которой изгибное состояние будет незначительным. Эти оболочки называют безмоментными. Их решение сводится к одному уравнению. В безмоментных сферических и цилиндрических оболочках в основном есть N_х, N_у, в гипарах – S_xy.

Задача инженера – выбрать рациональную форму оболочки и тем самым управлять НДС.

Вариационный принцип Лагранжа для изгиба тонких плит Дифференциальные зависимости для балки

Перекрестные пространственные

системы из ферм

а)

перекрестные фермы

б)

Рис. Пространственные перекрестные системы из ферм (структуры)

а) плоскостная (плитная)

б) криволинейная (сводчатая, арочная, оболочечная)

Контрольные вопросы:

1. В чем принципиальное отличие работы плоских систем от пространственных?

2. В чем состоят принципиальные… конструктивной безопасности пространственных систем

3. Как реагируют на неравномерную осадку опор пространственные (статически неопределимые) системы и статически определимые, например, балочные системы?

Балочные клетки. Расчетные схемы. Сравнение с изгибом тонкой плиты

Рис. 1. Балочная клетка из перекрестных балок

1. Балки обоих направлений примерно равны по жесткости. При нагружении одной балки в работу включаются все балки (пространственное перераспределение сил) (рис. 1)

2. Балки одного направления(второстепенные) значительно меньше по жесткости, чем балки другого направления (главные) (рис. 2)

Рис. 2. Второстепенные балки шарнирно оперты на главные. Они собираются и передают на главные балки нагрузку в виде сосредоточенных сил, а главные балки передают нагрузку на опоры. Изгиб балок не сопровождается скручиванием. Весь расчет балочной клетки расчленяется на две части: изгиб второстепенных балок с определением реакций, затем изгиб главных балок.

x

h

y

Рис. 3. Поперечный изгиб тонкой плиты (рис. 3) (толщина <1/5 длины пролета) можно мысленно представить как балочной клетки (взаимно переключающиеся балки одинаковой жесткости). ,

Рекомендации по использованию опорного конспекта

1. Конспект содержит узловые принципиальные положения краткого курса, представленные в иллюстрированном виде.

2. Конспект нацелен на экономию лекционного времени, которое растрачивается в значительной мере лектором и студентами на записи и чертежи на доске и в тетрадях. При этом внимание студентов раздваивается, надо успеть услышать и записать. Возможно, что на понимание не хватает времени. Сэкономленное время лектор может использовать на дополнительные пояснения и общение со студентами в вопросах и ответах. А студенты могут сделать свои личные записи-пояснения на левой чистой странице напротив чертежей базового конспекта. При этом конспект приобретает индивидуальный личностный характер на основе соблюдения принципиальных базовых данных курса теории упругости.

3. Контрольные вопросы, которые предусмотрены в базовом конспекте, помогут студенту проконтролировать полученные знания, а в целом, конспект будет подспорьем для подготовки к зачету и экзамену.

Базовый конспект не заменяет учебники, но явится полезным дополнением, в котором кратко и визуально высветлены законы данной науки и принципиальные положения. Обращено внимание студентов на основные понятия, используемые в курсе теории упругости, на связь со смежными дисциплинами (сопротивлением материалов, строительной механикой и конструкциями), а также на предварительные знания, необходимые для изучения курса.

Основные понятия

• НАПРЯЖЕНИЯ

• ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

• ДЕФОРМАЦИЯ

• НЕРАЗРЫВНОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ

• УПРУГОСТЬ

- ЛИНЕЙНАЯ

- НЕЛИНЕЙНАЯ

• ПЛАСТИЧНОСТЬ

- ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

• ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТУ

- ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

- ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

• ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ТУ

• ТОНКАЯ ПЛИТА (ПЛАСТИНКА) (ОТЛИЧИЕ ОТ БАЛКИ)

• ОБОЛОЧКА (ТОЛСТАЯ, ТОНКАЯ, МЕМБРАНА)

• ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОНСТРУКЦИЯ

• ПЛОСКАЯ (БАЛОЧНАЯ) КОНСТРУКЦИЯ отличие в работе (НДС)

• ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ

• ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

• УСЛОВИЯ СВЕДЕНИЯ 3-Х МЕРНОЙ ЗАДАЧИ К 2-Х МЕРНОЙ

И 2-Х МЕРНОЙ К ОДНОМЕРНОЙ

• УПРУГОЕ ОСНОВАНИЕ

- УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

- УПРУГАЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ

-КОЭФФИЦИЕНТ ПОСТЕЛИ (КОЭФФИЦИЕНТ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ)

Предварительные знания

(ЧТО НАДО ПОВТОРИТЬ ДО ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ)

По сопротивлению материалов

• Гипотезы, цели курса

• Закон Гука

• Лабораторные работы по определению Е, φ, μ

• Основные понятия (напряжение, главные

напряжения, деформация и др.)

• Простейшие виды деформирования

- сжатие-растяжение

- внецентренное сжатие

- сдвиг, кручение

- поперечный изгиб балок

- продольный изгиб стержней

• Устойчивое и неустойчивое деформирование

(потеря устойчивости)

По теории упругости

• Гипотезы, цель курса

• Уравнения равновесия, различные формы составления условий равновесия

По высшей математике

• Решения систем алгебраических уравнений

• Матрицы

• Дифференцирование

• Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Дифференциальные уравнения в частных производных

• Численные методы решения дифференциальных

уравнений (метод конечных разностей, метод конечных

элементов)

• Ряды

• Разложение функций в ряд Тейлора

Контрольные вопросы

1. Что общего и различного в задачах теории упругости и сопротивления материалов?

2. Задачи ТУ описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а задачи сопротивления материалов - обыкновенными дифференциальными уравнениями. В чем причина?

3. Гипотезы ТУ и гипотезы сопротивления материалов. Что в них общего и в чем принципиальное отличие?

4. Охарактеризуйте модель тела в ТУ.

5. Встречаются ли в ТУ, как частный случай, статически определимые задачи? Приведите пример.

6. Приведите пример деформации упругого тела, при которых

1) ξ_x =ξ_y =0, γ_xy≠ 0

2) ξ_x ≠ 0, ξ_y ≠ 0, γ_xy = 0

7. Какими физическими коэффициентами (модулями) характеризуется идеально упругое изотропное тело? Сколько из них независимых?

8. Тоже для анизотропного упругого тела?

9. Опишите опыт (эксперимент) для определения модулей Е, φ и коэффициента Пуассона μ. Укажите размерности этих величин.

10. Объясните, почему модуль упругости в условиях плоской деформации больше, чем Е в условиях плоского напряженного состояния ( › Е).

11. Можно ли в общем случае признать верное решение задачи теории упругости, если какая либо из трех групп уравнений (статическая, геометрическая, физическая) не использованы? Почему?

12. Почему при решении плоской задачи ТУ в перемещениях (U, v) не используется уравнение сплошности (неразрывности)?

13. Если плоская задача ТУ решается с помощью функций напряжений ξ(x,y), то является ли достаточной проверка равновесия любой отсеченной части?

14. Какие напряжения называются главными? Как они и их траектории используются, например, при армировании железобетонной балки?

15. Опишите отличия в физических картинках разрушения бетонного кубика при осевом сжатии в случаях, когда между контактирующей поверхностями пресса и кубика есть трение и когда трения практически нет.

16. Какую картинку физического деформируемого упругого тела гарантирует выполнение уравнения сплошности (неразрывности)? Как это связано с гипотезами теории упругости?

17. К решению каких уравнений сводится плоская задача теории упругости, если ее решать в напряжениях ( с помощью функции ξ)?

18.То же в перемещениях?

19. Каким разрешающим уравнением описывается поперечный изгиб тонкой плиты?

20. То же если плиты лежат на упругом основании по модели Винклера?