=0;

=0;

= ;

;

.

Равновесие элемента с гранями параллельными координатным осям:

Равновесие элемента с гранями наклонными к осям координат или уравнения равновесия на поверхности тела.

Статическая сторона задачи дифференциальные уравнения равновесия Навье

Главные напряжения

На площадках, на которых касательные напряжения равны нулю, нормальные напряжения достигают экстремума (и называются главными напряжениями). Армирование в железобетоне стремятся делать по траекториям главных растягивающих напряжений.

dx

При выводе уравнений равновесия использовались следующие гипотезы:

• распределение напряжений в пределах каждой б.м. площадки принималось равномерным, а равнодействующее усилие на этой площадке вычислялось умножением напряжения на площадь этой площадки

• изменение напряжений при приращении координат (т.е. на ближайшей площадке) определялось как для плавной непрерывной функции (без сжатия и изломов), что соответствует гипотезе непрерывности деформирования. Для этого использовалось разложение функции в ряд Тейлора с удержанием первого члена разложения (см. геометрическое представление на графике)

Заметим, что аналогичный принцип разложения будет применяться и в геометрической стороне задачи.

Геометрическая сторона задачи выявляет связь между перемещениями и деформациями тела

Плоская задача: точка А(х,у) получила перемещения «u» вдоль оси х и «V» вдоль оси у. Перемещения точек В и С элемента определяем, пользуясь непрерывностью деформаций и разложением в ряд Тейлора. Приращения перемещений зависят от приращения (изменения) соответствующей координаты. Например, для точки В(х,у+dy) перемещения (V+ dy) и (u + dy).

Геометрические уравнения 6-7-8: дана связь между деформациями ε_х, ε_у, γ_ху и перемещениями u и V.

Ч ерез две величины (u, V) вычисляются три ε_х, ε_у, γ_ху, т.е. при любых значениях u,V деформации ε_х, ε_у, γ_ху вычисляются однозначно! Но при произвольном задании ε_х, ε_у, γ_ху определить две величины u, V однозначно не всегда можно!

Вывод: между ε_х, ε_у, γ_ху существует связь. Это уравнение (9)!

Доказательство справедливости уравнения (9):

подстановка (6-7-8) в (9) превращает (9) в тождество.

Таким образом, прирешение задачи ТУ в перемещениях, т.е. определении u, V, уравнение (9) выполняется автоматически

В других случаях (при решении через ε_х, ε_у, γ_ху или σ_х, σ_у, τ_ху) уравнение (9) т.е. условие неразрывности (сплошности) необходимо использовать

σ_х, σ_у, τ_ху

▼² (σ_х, σ_у)=0 – включает условие (9) + закон Гука + уравнение равновесия (частично)

Идеально упругое тело. Линейный закон связи между деформациями и напряжениями. Отсутствие остаточных деформаций после разгрузки. Вспомните опыт растяжения образца на разрывной машине.

Продольная относительная деформация вдоль оси х при растяжении продольными силами (напряжениями) ε_х= σ_х – удлинение

Поперечная относительная деформация (укорочение вдоль оси х) ст σ_у

ε_х=-μ

Аналогично ε_х=-μ

От действия касательных напряжений

ε_х = 0

Обобщение закона Гука получаем, суммируя эти компоненты деформаций ε_х вдоль оси х.

Напомним: μ – коэффициент Пуассона, показывает отношение относительной попе-речной деформации к относительной продольной деформации μ<0,5; для стали μ=0,25

μ=0,167

Вывод: закон Гука – физический закон, который устанавливает связь между статическим и геометрическими сторонам задачи.

Закон Гука

	;
	;