Задачи для самостоятельного решения

Сформулируйте двойственные задачи и найдите их решения.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Глава 6. Целочисленные задачи линейного программирования

Значительная часть задач коммерческой деятельности требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например распределение товаров между коммерческими предприятиями, раскрой материалов, число станков при загрузке оборудования, распределение транспортных средств по рейсам, распределение коммерческих заказов между оптовыми предприятиями, продажа автомобилей, распределение самолетов по авиалиниям, количество вычислительных машин в управляющем комплексе и др. Линейные задачи, решение которых должно быть получено в целых числах, называют задачами целочисленного программирования.

Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включает дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных должны быть целыми неотрицательными числами, например: X₁ = 30 станков, Х₂ = 16 самолетов, Х₃ = 7 человек.

Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы:

а) методы отсечения;

б) комбинированные методы;

в) приближенные методы.

Рассмотрим один из методов отсечения — метод Гомори.

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленности. Если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

а) оно должно быть линейным;

б) должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;

в) не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.

Алгоритм Гомори, основанный на симплексном методе, имеет простой способ построения правильного отсечения и содержит следующие этапы:

1. Задача линейного программирования решается без учета условия целочисленности симплексным или двойственным симплексным методом. Если все элементы оптимального плана целые числа, то решение заканчивается для задачи целочисленного программирования.

2. Если среди элементов оптимального решения есть нецелые числа, то необходимо выбрать элемент с наибольшей дробной частью и составить дополнительное ограничение (сечение), которое отсекает нецелочисленные решения.

Дополнительное ограничение дается в том случае, если значение базисной переменной в оптимальном плане - дробное число. Тогда некоторые элементы в i-й строке симплексной таблицы также дробные числа. Обозначим и целые части чисел ; и , т.е. наибольшие целые числа, не превышающие ; и . Величины дробных частей и определяются как разности следующим образом:

, и являются положительными числами.

Тогда неравенство , сформированное по i-й строке симплексной таблицы, обладает всеми свойствами правильного отсечения.

3. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной и включается в оптимальную симплексную таблицу.

4. Полученная расширенная задача решается двойным симплексным методом. Если новый оптимальный план будет целочисленным, то задача решена. В противном случае необходимо вернуться к п. 2 алгоритма.

Если в процессе решения в симплексной таблице появится уравнение с нецелым свободным членом и целыми коэффициентами , то данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Пример №1

Маркетинговые исследования указали на необходимость освоения выпуска новой продукции. Поэтому на предприятии решено установить новое технологическое оборудование на освободившейся площади 10 м². На приобретение оборудования двух видов выделено 6 млн. руб. Комплект первого вида оборудования стоимостью 1 млн. руб. устанавливается на площади 5 м² и позволяет увеличить доход предприятия на 8 млн. руб. Комплект второго вида оборудования занимает площадь 2 м² , стоит 1 млн. руб. и обеспечивает увеличение дохода предприятия на 5 млн. руб. Определите, какое количество технологического оборудования каждого вида следует закупить, чтобы обеспечить максимальное увеличение дохода предприятия от продажи выпускаемой продукции.

Решение:

Обозначим через х₁ х₂ количество комплектов технологического оборудования соответственно первого и второго видов, через F(x) — доход предприятия от продажи продукции.

Тогда математическая модель задачи имеет вид:

при ограничениях:

где -целые числа.

Приведем задачу к каноническому виду, для чего введем дополнительные неотрицательные переменные и решим ее симплексным методом, а результаты запишем в таблицы 1-3.

Таблица 1. Итерация №1

Переменные Базис	x1↑	x2	x3	x4	Свободные члены b	Оценочное отношение
←x3	5	2	1	0	20	4
x4	1	1	0	1	6	6
F	-8	-5	0	0	0

Таблица 2. Итерация №2

Переменные Базис	x1	x2↑	x3	x4	Свободные члены b	Оценочное отношение
x1	1	2/5	1/5	0	4	10
←x4	0	3/5	-1/5	1	2	10/3
F	0	-9/5	8/5	0	32

Таблица 3. Итерация №3

Переменные Базис	x1	x2	x3	x4	Свободные члены b	Оценочное отношение
x1	1	0	1/3	-2/3	8/3
x2	0	1	-1/3	5/3	10/3
F	0	0	1	3	114/3

На третьей итерации получен оптимальный план x*=(8/3; 10/3), в котором присутствуют дробные числа, поэтому данный план не является решением задачи. Решаем далее методом Гомори.

По первому уравнению с переменной x₁, получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью (2/3), составляем дополнительное ограничение:

Дополнительное ограничение имеет вид:

Преобразуем полученное неравенство в уравнение:

коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу (см. таблицу 4), тогда получим продолжение решения двойственным симплексным методом.

Таблица 4. Двойственная симплексная таблица

Переменные Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены b
x1	1	0	1/3	-2/3	0	8/3
x2	0	1	-1/3	5/3	0	10/3
x5	0	0	-1/3	-1/3	1	-2/3
F	0	0	1	3	0	114/3
Оценочное отношение	-	-	=3	=9	-

Таблица 5. Оптимальная двойственная симплексная таблица

Переменные Базис	x1	x2	x3	x4	x5	Свободные члены b
x1	1	0	0	-1	1	2
x2	0	1	0	2	-1	4
x3	0	0	1	1	-3	2
F	0	0	0	2	3	36

В результате получаем оптимальное целочисленное решение (см. таблица 5): X*=(2, 4, 2); F(X*)=36 млн. рублей. Таким образом, предприятию необходимо установить 2 комплекта оборудования первого вида и 4 комплекта второго вида. Это позволит максимально увеличить доход предприятия.