1. Вимірювання питомого опору зразка при кімнатній температурі

Для вимірювання питомого опору зразку кінці від одного з електродів Холла і допоміжного зонду підключають до вольтметра. За величиною падіння напруги і значенням струму через зразок визначають питомий опір:

[Омсм], (17)

де l – відстань між зондами, s – площа поперечного перерізу зразка.

2. Визначення величини коефіцієнта Холла при кімнатній температурі

Електроди Холла під'єднують до вольтметра. Холлівська різниця потенціалів вимірюється при протилежних напрямках магнітного поля. Викликано це наступними міркуваннями. Падіння напруги між електродами Холла може обумовлюватися не тільки ефектом Холла, але й іншими причинами. Наприклад, важко встановити електроди точно на еквіпотенціальній поверхні, а оскільки питомий опір германію досить високий, то при даному струмі може виявитися помітним падіння напруги між ними. Крім цього, внаслідок нагрівання зразка виникає термо-ЕРС. Оскільки ці побічні ЕРС не змінюють свого знаку при зміні напрямку магнітного поля, а холлівська різниця потенціалів змінює знак, то цю обставину використовують для того, щоб відрізнити істинну різницю потенціалів Холла. Нехай при деякому напрямку магнітного поля виміряна різниця потенціалів буде дорівнювати:

U₁ = U_H + U_R + U_T. (18)

Тут U_H – дійсне значення ЕРС Холла, U_R – падіння напруги, викликане неправильною установкою електродів Холла, U_T – термо-ЕРС.

Якщо при протилежному напрямку магнітного поля різниця потенціалів дорівнює:

U₂ = –U_H + U_R + U_T, (19)

то з двох вимірів знаходять дійсне значення ЕРС Холла:

. (20)

Використовуючи знайдену величину ЕРС Холла, значення струму через зразок та індукцію магнітного поля B, визначають сталу Холла

, (21)

де d – товщина зразка в напрямку поля (в см).

Дані виміри питомого опору і сталої Холла дозволяють обчислити концентрацію носіїв n та їх рухливість  за формулами:

, . (22)

3. Визначення ширини забороненої зони

Вимірювання R і  виконують в інтервалі температур від кімнатної до 400°С з інтервалами в 30–50°С. Температура фіксується хромель-алюмелевою термопарою. За отриманими даними будують графіки lg(R) і lg() від 1/kT і за нахилом прямолінійної ділянки знаходять ширину забороненої зони E.

Завдання

1. За величиною коефіцієнта Холла при кімнатній температурі знайти концентрацію і знак носіїв струму.

2. Із температурної залежності питомого опору і коефіцієнта Холла визначити ширину забороненої зони германію.

3. Із температурної залежності рухливості носіїв заряду визначити механізм їх розсіяння.

Література

1. Иоффе А. Ф. Полупроводники в современной физике. Разд. 3. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954.

2. Шокли В. Теория электронных полупроводников. Разд. 1. – М.: Иностранная литература, 1953.

3. Данлэп У. Введение в физику полупроводников. Разд. 5, 9. – М.: Иностранная литература, 1959.

4. Стильбанс Л. С. Гальваномагнитные явления // Сб. "Полупроводники в науке и технике". – Т. 1. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1957.

Лабораторна робота № 4

Спектр власної фотопровідності напівпровідників

Мета роботи:

Пояснити форму спектра фотопровідності. Визначити ширину забороненої зони g досліджуваного напівпровідника.

Теоретичні відомості

Основні рівняння фотопровідності

Основною причиною фотопровідності є поява вільних носіїв заряду у напівпровіднику під дією оптичного збудження. У найпростішому випадку поглинання фотонів призводить до переходу електронів у зону провідності, де вони знаходяться у вільному стані та можуть брати участь у процесі переносу заряду. При цьому в валентній зоні виникають дірки, які також дають вклад у провідність. Такий процес називають власною фотопровідністю, хоча для нього не є необхідним використання чистого матеріалу. У домішковому напівпровіднику, наприклад із n-типом провідності, крім власної фотопровідності може спостерігатися збудження електронів у зону провідності з донорних рівнів, розташованих у забороненій зоні. Аналогічно для напівпровідника з p-типом провідності можливе збудження електронів із валентної зони на акцепторні центри, при цьому створюються рухливі дірки. У випадку домішкової фотопровідності, на відміну від власної, у кристалі генеруються вільні носії заряду тільки одного знаку.

Фотопровідність може виникати лише при збудженні оптичним випромінюванням, енергія фотонів якого h перевищує деяке граничне значення. У випадку власної фотопровідності це енергетична відстань між головними екстремумами валентної зони та зони провідності, тобто ширина забороненої зони.

Нехай під дією оптичного випромінювання в одиниці об'єму напівпровідника за одиницю часу виникає g_n електронів провідності та, відповідно, g_p дірок у валентній зоні, а R_n – темп зворотного процесу, тобто зникнення вільних електронів внаслідок процесу рекомбінації із дірками та, відповідно, R_p – темп рекомбінації вільних дірок.

Темпи генерації g_n та g_p описують генерацію, обумовлену тільки зовнішніми діями, і не враховують переходи, обумовлені тепловим рухом. Так само R_n та R_p являють собою результуючі темпи рекомбінації, тобто різниці між темпом захвату носіїв із відповідної зони та темпом зворотної теплової генерації носіїв у зону.

R_n = r_n – g_nT, (1)

R_p = r_p – g_pT, (2)

де g_nT – темп теплової генерації електронів в умовах рівноваги; g_pT – темп теплової генерації дірок в умовах рівноваги; r_n та r_p – повні темпи захвату відповідно електронів у валентну зону та дірок у зону провідності.

Для випадку зонно-зонної рекомбінації можна записати:

g_nT = g_pT = g_T, (3)

r_n = r_p = r = np, (4)

де  – стала рекомбінації, а отже:

R = R_n = R_p. (5)

Оскільки в умовах рівноваги n = n₀, p = p₀, R = 0, тоді g_T = n₀p₀. Тому остаточний вираз для нерівноважної частини темпу рекомбінації набуває вигляду:

R = (np – n₀p₀). (6)

Розглянемо випадок зонно-зонного збудження, коли концентрація нерівноважних електронів дорівнює концентрації нерівноважних дірок: n = p. Далі буде показано, що така умова виконується при збудженні нерівноважних носіїв у більшості реальних випадках. Отже, якщо підставити вирази n = n₀ + n та p = p₀ + n у рівняння (6), то в результаті отримаємо:

R = (n₀ + p₀)n + n². (7)

Перший доданок у рівнянні (7) відповідає лінійній рекомбінації, коли темп рекомбінації нерівноважних носіїв заряду пропорційний їх концентрації, а другий описує квадратичну рекомбінацію, яка пропорційна квадрату концентрації нерівноважних носіїв. При невеликих інтенсивностях збуджувального випромінювання концентрація нерівноважних носіїв заряду значно менша від концентрації рівноважних, n₀ >> n, тому квадратичним доданком у рівнянні (7) можна знехтувати та вважати рекомбінацію лінійною.

У лінійному випадку для кількісного опису кінетики нерівноважних процесів зручно ввести поняття середнього часу життя нерівноважних дірок у зоні провідності _n та, відповідно, дірок у валентній зоні _p, які визначаються формулами:

(8)

(9)

Слід зазначити, що у випадку зонно-зонного збудження та виконання умови n = p час життя нерівноважних електронів дорівнює часу життя нерівноважних дірок:

.

Якщо в напівпровіднику відсутні конвекційні (внутрішні) електричні струми, то зміна з часом нерівноважних електронів і дірок у відповідних зонах визначаються співвідношеннями:

(10)

(11)

Коли ж у напівпровіднику мають місце конвекційні струми, то зміна концентрації нерівноважних носіїв визначається не тільки процесами генерації та рекомбінації, але й рухом носіїв заряду. Тому рівняння (10) та (11) набувають вигляду:

, (12)

, (13)

де j_n, j_p – густини конвекційних струмів електронів і дірок відповідно.

Розглянемо струми, що протікають уздовж осі х, спрямованої перпендикулярно до освітленої поверхні зразка. Вони складаються зі струмів дифузії носіїв за рахунок градієнта концентрації та дрейфу в електричному полі, яке виникає внаслідок дифузії носіїв заряду. В результаті густини струмів для електронів і дірок запишуться у вигляді:

, (14)

, (15)

де _n, _p, D_n, D_p – дрейфові рухливості та коефіцієнти дифузії відповідно для електронів і дірок; Е – напруженість електричного поля, обумовленого різними рухливістями носіїв заряду. Це поле збільшує рухливість носіїв, у яких вона менша, і зменшує рухливість тих, для яких вона більша. В результаті цього електрони та дірки дифундують із однаковою швидкістю, яка визначається коефіцієнтом амбіполярної дифузії.

Очевидно, що сумарний струм є:

j = j_n + j_p = 0. (16)

Якщо скласти рівняння (14) та (15) враховуючи, що , то в результаті знаходимо вираз для напруженості внутрішнього електричного поля:

. (17)

Після підстановки виразу (17) у рівняння (14) та (15) отримаємо вирази для густин струмів електронів і дірок:

, (18)

де D_e – коефіцієнт амбіполярної дифузії:

. (19)

Для матеріалу з n-типом провідності (n >> p) D_e = D_p, а для матеріалу p-типу (p >> n) D_e = D_n, тобто в обох випадках коефіцієнт амбіполярної дифузії збігається з коефіцієнтом дифузії неосновних носіїв заряду. Для власного напівпровідника (n₀ = p₀) маємо проміжне значення:

.

При невеликому рівні збудження, тобто незначних концентраціях нерівноважних носіїв заряду (n << n₀,p₀) вираз (19) набуває вигляду:

, (20)

тобто коефіцієнт амбіполярної дифузії не залежить від концентрації нерівноважних носіїв заряду, а значить при освітленні не змінюється.

При порушенні термодинамічної рівноваги змінюються також концентрації зв'язаних дірок p_t (тобто концентрація позитивно заряджених донорів) та зв'язаних електронів n_t (негативно заряджених акцепторів). Тому в загальному випадку при освітленні напівпровідника виникає об'ємний заряд із густиною

 = e(p + p_t – n – n_t). (21)

Електричне поле Е, яке входить у вирази для густин струмів (14), (15) визначається рівнянням Пуассона:

. (22)

У багатьох випадках використання рівняння Пуассона є зайвим. Це пов'язано з тим, що при релаксації нерівноважних електронних станів протікають два процеси. При порушенні термодинамічної рівноваги в напівпровіднику виникають струми дифузії та дрейфу, які намагаються знищити зміну об'ємного заряду. При незмінних зв'язаних зарядах у зонах встановлюється дифузійно-дрейфова рівновага, яка характеризується певним розподілом носіїв заряду в зразку. Якщо швидкості дрейфу носіїв не дуже великі, так що час їх прольоту через зразок значно перевищує час максвеллівської релаксації , то в переважній області напівпровідника об'ємний заряд встигає обернутись у нуль. Швидкість встановлення дифузійно-дрейфової рівноваги в такому випадку визначається _M. Проте для встановлення повної термодинамічної рівноваги необхідна ще рівновага між електронами в зоні провідності, дірками у валетній зоні та зв'язаними зарядами. Швидкість встановлення такої рекомбінаційної рівноваги визначається часами життя _n та _p. У реальних, практично важливих напівпровідниках, таких як кремній, германій та ін., _M << _n,_p. Тому для об'єму напівпровідника можна вважати, що   0. Тому рівняння Пуассона (22) набуває вигляду:

(23)

Спектр фотопровідності при невеликих інтенсивностях збуджувального випромінювання (Dn<<n_o)

Розглянемо напівпровідник, одна з поверхонь якого освітлюється в області власного поглинання випромінюванням інтенсивності I₀ (рис. 1). При розповсюдженні світла у певному напрямку зміна його інтенсивності визначається коефіцієнтом поглинання  й описується законом Бугера: dI = ‑ Idx. На відстані x від опромінюваної поверхні зразка число квантів світла, що поглинається в одиниці об'єму за одиницю часу, дорівнює ; в результаті виникає N електронно-діркових пар, де  – квантовий вихід фотойонізації, тобто вираз для швидкості генерації нерівноважних носіїв заряду можна подати у вигляді

, (24)

де – поглинальна здатність, тобто енергія, яка поглинається в шарі товщиною dx в одиницю часу. В загальному випадку при врахуванні багаторазового відбивання вираз для поглинальної здатності має вигляд:

, (25)

де R – коефіцієнт відбивання від поверхні зразка, d – товщина зразка.

Рис. 1. Геометрія освітлення напівпровідника збуджувальним випромінюванням інтенсивності I₀

Проте для "товстого" зразка, коли відбиванням від зворотньої поверхні можна знехтувати, вираз для поглинальної здатності набуває більш простого вигляду:

, (26)

а вираз для темпу генерації (24) відповідно записується як

. (27)

З урахуванням (8) та (27) рівняння неперервності для електронів (12) у стаціонарному випадку набуває вигляду:

, (28)

де – дифузійна довжина, D_e – коефіцієнт амбіполярної дифузії.

Таким чином, для отримання розподілу нерівноважних носіїв заряду за глибиною зразка з урахуванням швидкості поверхневої рекомбінації носіїв треба знайти розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку (28) з наступними граничними умовами:

, (29)

де s – швидкість поверхневої рекомбінації, і

n()  0 при x  . (30)

Гранична умова (29) відповідає простій картині "витікання" нерівноважних носіїв заряду через поверхню напівпровідника. А саме, нерівноважні носії заряду можуть "витікати" через поверхню (рекомбінувати на поверхні) тільки парами електрон – дірка, а швидкість цього проникнення через поверхню й визначає темп поверхневої рекомбінації. Пари, які рекомбінували на поверхні, поповнюються за рахунок дифузії, так що поблизу поверхні зразка повинні встановитися градієнти концентрації нерівноважних носіїв заряду, які забезпечують їх дифузію до поверхні. Тоді умовою стаціонарності процесу є рівність дифузійного потоку на поверхні напівпровідника темпу поверхневої рекомбінації .

В результаті розв'язок рівняння (28) із граничними умовами (29), (30) набуває вигляду:

, (31)

де – темп генерації на поверхні зразка.

На рис. 2 наведений результат розрахунку за формулою (31) форми кривої розподілу концентрації нерівноважних електронів із наступними параметрами L = 10^‑2 см, D = 4 см²/с,  = 500 см^‑1, d = 0,1 см при різних величинах швидкості поверхневої рекомбінації s.

У випадку s = 0, тобто за відсутності поверхневої рекомбінації (крива 1 на рис. 2) форма кривої розподілу концентрації нерівноважних носіїв заряду обумовлена лише просторовим розподілом темпу оптичної генерації всередині кристалу та процесами амбіполярної дифузії носіїв заряду від поверхні, яка освітлюється. Для більшості напівпровідників приповерхневий шар характеризується підвищеним у порівнянні із об'ємом темпом рекомбінації нерівноважних носіїв заряду, тобто швидкість поверхневої рекомбінації не дорівнює нулеві. За рахунок цього в приповерхневому шарі виникає градієнт концентрації нерівноважних носіїв заряду, який зумовлює їх потік у напрямку до освітленої поверхні. Густина струму до поверхні прямо пропорційна концентрації нерівноважних носіїв заряду поблизу поверхні та величині швидкості поверхневої рекомбінації. Збільшення величини s спричиняє зростання густини струму до поверхні, а значить зменшує концентрацію нерівноважних носіїв заряду в приповерхневому шарі. В результаті на кривій розподілу з'являється максимум (крива 2 на рис. 2). У граничному випадку, коли темп поверхневої рекомбінації значно перевищує темп об'ємної рекомбінації, концентрація нерівноважних носіїв на освітленій поверхні дорівнює нулеві (крива 3 на рис. 2).

Рис. 2. Криві розподілу нерівноважних носіїв заряду, розраховані при різних величинах швидкості поверхневої рекомбінації

При спостереженні поперечної фотопровідності, коли зовнішнє електричне поле перпендикулярне до напрямку розповсюдження оптичного випромінювання, фотострум через одиницю поперечного перерізу зразка товщиною d можна подати у вигляді:

. (32)

Якщо в рівняння (32) підставити вираз для розподілу концентрації нерівноважних електронів (31) та виконати відповідні перетворення, то отримаємо вираз для фотоструму:

(33)

Форма спектра фотопровідності визначається спектральною залежністю коефіцієнта поглинання, швидкістю поверхневої рекомбінації, коефіцієнтом дифузії та дифузійною довжиною.

Розглянемо випадок однорідного поглинання, який реалізується у тонких зразках d < 1 та знехтуємо процесами дифузії (L << 1). При цьому другим доданком у виразі для фотоструму (33) можна знехтувати, а перший із врахуванням виразу для темпу генерації на поверхні G₀ наближено подати у вигляді:

. (34)

В такому випадку сигнал фотопровідності прямо пропорційний коефіцієнту поглинання . А саме, при зменшенні довжини хвилі збуджувального випромінювання (збільшенні коефіцієнта поглинання) сигнал фотопровідності зростає, а форма спектра фотопровідності збігається зі спектральною залежністю коефіцієнта поглинання та не залежить від параметрів D_e, , s, які залежать не тільки від фундаментальних властивостей напівпровідника, але й від особливостей технологічних процесів виготовлення конкретного зразка. Це дозволяє визначати ширину забороненої зони напівпровідника за формою краю спектра фотопровідності в довгохвильовій області.

Збільшення коефіцієнта поглинання призводить до зростання впливу дифузії на протікання нерівноважних процесів. При цьому нехтувати другим доданком у виразі (33) вже не можна. Характер зазначеного впливу при цьому визначається швидкістю поверхневої рекомбінації s та коефіцієнтом амбіполярної дифузії D_e. Так, у випадку, коли швидкість поверхневої рекомбінації дорівнює нулеві, цей вплив практично не помітний, а на спектрі фотопровідності не спостерігається спадання у короткохвильову область (рис. 3, крива 1). При збільшенні коефіцієнта поглинання (зменшенні довжини хвилі) все більша частина збуджувального випромінювання поглинається в приповерхневій області кристалу, яка характеризується більш високим темпом рекомбінації в порівнянні з об'ємом напівпровідника. Це призводить до зменшення часу життя нерівноважних носіїв заряду та спадання сигналу фотопровідності при зменшенні довжини хвилі збуджувального випромінювання. Причому величина спаду тим більша, чим більша швидкість поверхневої рекомбінації (рис. 3, криві 2 та 3).

Розглянемо форму спектра фотопровідності в області сильного поглинання (d >> 1, L >> 1). В такому наближенні в рівнянні (33) експоненційними членами можна знехтувати і в результаті отримаємо наступний вираз:

. (35)

Рис. 3. Залежності сигналу фотопровідності від коефіцієнта поглинання, розраховані при різних швидкостях поверхневої рекомбінації

Введемо позначення G₀ = g₀, де . Тоді рівняння (34) з урахуванням L >> 1 набуде вигляду:

(36)

Отже, в області сильного поглинання d >> 1 та L >> 1 спектральний розподіл фотопровідності i описується виразом:

, (37)

причому параметр А не залежить від .

З умови i = 0 випливає, що відрізок, який відсікається прямою i = f(1/) на осі абсцис a = ‑D_e/s при довільному значенні А залежить тільки від s та D_e.