Обработка результатов эксперимента

Обработку результатов эксперимента следует начинать с вычисления коэффициентов регрессии по формулам (9), (10). Записать полученную математическую модель по формуле :

Ù ~ ~

Y = B0 + B1 * X1 + B2 * X2 (12)

В найденном уравнении регрессии ( в кодированных обозначениях факторов ) подставляются значения факторов X1, X2 соответствующие условиям каждого из опытов матрицы планирования (табл. 1). Таким образом вычисляются значения выходной величины Y1, Y2, ... Yn, предсказанные уравнением регрессии для каждого из опытов, и заносятся в табл. 1.

2

Вычисляется оценка дисперсий Sj для каждой серии дублированных опытов по формуле :

_ 2

2 M (Yi*L – Yj )

Sj = å –––––––––– . (13)

L=1

Эта величина используется для проверки однородности дисперсий

2 2 2

опытов S1, S2, ... Sn по критерию Кохрана по формуле :

2

max Sj

G = –––––––– < Gтабл. , (14)

N 2

å Sj

j=1

где Gтабл. находится для уровня значимости q = 0,05 по таблице приложения 1 при числе степеней свободы f = M - 1 и числе выборок K=N.

Если условие (14) выполняется, то с 5%-ным уровнем значимости гипотеза об однородности дисперсий принимается и можно считать расхождения между их численными значениями случайными.

Вычисляется оценка дисперсий, характеризующая ошибку

2

эксперимента S<y>, как среднее арифметическое значение дисперсий опытов :

2 2

2 N Sj N M ( Yi*L - Yj )

S<y> = å ––– = å å –––––––––– . (15)

J=1 j=1 i=1 N*( M - 1)

Затем вычисляются коэффициенты регрессии. Коэффициенты регрессии Bi являются случайными величинами, поэтому дисперсия этих коэффициентов характеризует точьность, с которой они найдены :

2

2 S<y>

S<Bi> = –––––– . (16)

M*N

Оценивается значимость коэффициентов регрессии. В результате этой процедуры выявляются значимые коэффициенты регрессии, т.е. те, которые являются пренебрежимо малыми.

Коэффициент регрессии незначим в том случае, если соответствующий ему фактор оказывает весьма малое влияние на изменение выходной величины эксперимента. Оценка значимости коэффициентов регрессии производится с помощью t-критерия Стьюдента в следующем порядке :

а) для каждого коэффициента регрессии вычисляется расчётное t-отношение

| Bi |

t = –––––– , (17)

S<Bi>

где S<Bi> – среднеквадратическое отклонение Bi, равное корню из дисперсии этого коэффициента регрессии ;

б) из таблицы t-распределение по величине числа степеней свободы ( приложение 2 ) f2 = N * (M - 1) для уровня значимости q = 0,05 берётся таличное t-отношение tтабл. ;

в) проверяется условие tрасчёт.<tтабл.

Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимыми.

Проверка адекватности математической модели

Результаты этой проверки дают ответ на вопрос, пригодна ли построенная модель описания объекта.

1. Вычисляется сумма квадратов, характеризующая адекватность модели Sад по формуле :

N _ Ù

Sад = å (Yj - Yj) , (18)

Ù J=1

где Yi – значение выходной величины опыта, предсказанное уравнением регрессии (см. обработку результатов эксперимента).

2. Вычисляется число степеней свободы fад, связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании опытов оно равно :

fад = N - P, (19)

где N – число основных опытов плана;

P – число оцениваемых коэффициентов регрессии (при N = P адекватность модели проверить невозможно).

3. Вычисляется F-отношение по формуле :

2

Sад Sад

Fрасч. = ––––––––– = –––– £ Fqкритич (f1,f2). (20)

2 2

Fад*S<y> S<y>

С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q=5% и числа степеней свободы числителя f1=N-P и знаменателя по приложению 3 определяется Fq критическое отношение.

Если выполняется условие F £ Fкр., то то найденную модель объекта можно считать адекватной.

Если F > Fкр., то гипотеза об адекватности модели отвергается. В этом случае необходимо перейти к модели более сложного вида, например, к плану второго порядка или уменьшить диапазон варьирования факторов.