Построение плана пфэ

В ПФЭ влияющие факторы могут варьироваться на двух уровнях – верхнем и нижнем. Поэтому необходимо выбрать диапазон варьирования каждого фактора в пределах

Xmin £ Xi £ Xmax (3)

Величина Xmax называется верхним уровнем варьирования фактора Xi , а величина Xmin – нижним уровнем варьирования того же фактора.

Середина диапазона варьирования того же фактора Xосн называется его основным уровнем и вычисляется так :

Xmin + Xmax

Xосн = –––––––––––– (4)

2

Величина

Ù

Xi = Xmax - Xосн = Xосн – Xmin

называется интервалом варьирования фактора Xi.

Переходим к кодированным обозначениям факторов Xi

~ Xi – Xосн

Xi = –––––––––– (5)

Ù

Xi

При проведении ПФЭ реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Поэтому общее число экспериментов для K факторов

K

N = 2

Таким образом, постановка четырёх опытов даёт все мыслимые комбинации для двух факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях.

План ПФЭ для двух факторов приведён в таблице 1.

Таблица1

№ опыта

Кодированные значения факторов

Натуральные значения факторов

Значения условных переменных

_ Y

Ù Y

~ X0

~ X1

~ X2

X1

X2

Z1

Z2

1

+1

-1

-1

X1 min

X2 min

2

+1

+1

-1

X1 max

X2 min

3

+1

-1

+1

X1 min

X2 max

4

+1

+1

+1

X1 max

X2 max

В левой части таблицы 1 представлена матрица планирования эксперимента в кодированных значениях факторов.

На установке термического напыления резисторов можно устанавливать диапазон варьирования контролируемых факторов в довольно широких пределах:

1. температура подложки 100° С £ X1 £ 300° C;

2. удельное сопротивление 20 Ом/кв £ X2 £ 40 Ом/кв.

На основании изучения имеющихся сведений о технологическом процессе вакуумного напыления резисторов устанавливаются технологически разумные пределы Xmin и Xmax, в которых могут изменяться факторы.

Варианты заданий для эксперементального исследования приведены в таблице 3.

Введение кодированных обозначений факторов позволяет независимо от диапазона варьирования любого фактора устанавливать его нижний уровень (-1), верхний уровень (+1) и основной уровень – нулём. Благодаря этому планы ПФЭ в кодированных обозначениях можно строить перебором уровней (-1) и (+1) не интересуясь конкретным диапазоном варьирования факторов.

Коэффициенты регрессии Bi ( i=0,1,2 ... K ) отыскиваются по результатам экспериментов по формуле :

N Xij *Yj

Bi = å –––––– , i = 1,2,3 ... K (6)

J=i N

Из (6) видно, что для вычисления коэффициента регрессиииспользуется столбец значений соответствующего фактора Xi.

Коэффициент B0 равен среднему арифметическому значению выходной величины

N

åYi

B0 = –––––– , (7)

N

Для того, чтобы формула (6) была справедлива и для коэффициента B0 при i=0, в матрицу планироквания часто вводят фиктивный фактор X0, который в каждом опыте принимает значение +1 (см. табл. 1).

Коэффициенты регрессии Bi, найденные по результатам эксперимента, являются лишь оценками некоторых истинных коэффициентов регрессии, которые обозначаются как bi .

При выборе вида математической модели мы исходим из предположения, что уравнение регрессии является линейной функцией. Но может оказаться, что это предположение неверно и необходимо было задаться более сложной зависимостью, например, второго порядка. Поэтому, обязательна проверка пригодности модели для описания объекта исследования – так называемая проверка адекватности. Эту проверку можно осуществлять только в том случае, если количество опытов плана N превышает число оцениваемых коэффициентов регрессии P, т.е. выполняется условие

N > P. (8)

В нашем случае это условие выполняется и, следовательно, избыточный опыт можно использовать при проверке адекватности модели.

На объект исследования всегда воздействуют различные неконтролируемые факторы (шумы), что приводит к уменьшению точности результатов эксперимента. Влияние мешающих факторов можно в известной степени уменьшить, если каждый опыт эксперементального плана повторить некоторое число раз.

В случае равномерного дублирования, когда число повторений каждого из N основных опытов одинаково и равно M, весь эксперимент содержит N серий опытов K

( N = 2 ),

где каждая серия состоит из из M опытов, проводимых в одинаковых условиях. Тогда общее количество опытов с учётом дублирования равно N*M.

При равномерном дублировании опытов ПФЭ вычисление коэффициентов регрессии Bi осуществляется по формулам:

_

N Xij * Yj

Bi = å –––––––– , (9)

J=1 N

_

N Yj

Bi = å –––––––– , (10)

J=1 N

где

N Yij

Yj = å –––––––– . (11) i=1 M

Следует отметить, что необходимыми предпосылками правильности дальнейшей статистической обработки результатов эксперимента является нормальность распределения выходной величины и однородность дисперсий опытов.