- •6. Показательные и логарифмические
- •6.1. Показательная функция, гиперболические
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.2. Понятие логарифма и его свойства
- •I уровень
- •7) Если
- •II уровень
- •III уровень
- •6.3. Логарифмическая функция
- •Область определения:
- •Множество значений:
- •Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.4. Показательные уравнения,
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •6.7. Логарифмические неравенства
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
6. Показательные и логарифмические
выражения
6.1. Показательная функция, гиперболические
функции
Показательной функцией называется функция
где
Основные свойства показательной функции
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: не обладает свойством четности.
Периодичность: непериодическая.
Нули функции: нулей не имеет.
Промежутки знакопостоянства: функция положительна для
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех если – убывает для
Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.
Асимптоты: прямая y = 0 (ось Ох) является горизонтальной асимптотой.
График функции для a > 1 изображен на рис. 6.1, для – на рис. 6.2.
Рис. 6.1 Рис. 6.2
Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенствам:
1) если
2) если
Показательная функция с основанием е, где е – иррациональное число е = 2,718281…, называется экспонентой, пишут или
Через показательные выражения с основанием е определяются гиперболические функции.
Гиперболическим синусом называется функция
Основные свойства гиперболического синуса
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: нечетная.
Периодичность: непериодическая.
Нули функции:
Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для положительна – для
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех
Точки пересечения с осями координат:
Асимптоты: асимптот не имеет.
График функции изображен на рис. 6.3.
Гиперболическим косинусом называется функция
Основные свойства гиперболического косинуса
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: четная.
Периодичность: непериодическая.
Нули функции: нулей не имеет.
Промежутки знакопостоянства: функция положительна для
Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при возрастает при
Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке ось Ох не пересекает.
Асимптоты: асимптот не имеет.
График функции изображен на рис. 6.4.
Рис. 6.3 Рис. 6.4
Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболических синуса и косинуса.
Гиперболическим тангенсом называется функция
т. е.
Основные свойства гиперболического тангенса
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: нечетная.
Периодичность: непериодическая.
Нули функции:
Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для положительна для
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для
Точки пересечения с осями координат:
Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и
График функции изображен на рис. 6.5.
Рис. 6.5
Гиперболический котангенсом называется функция
т. е.
Основные свойства гиперболического котангенса
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: нечетная.
Периодичность: непериодическая.
Нули функции: нулей не имеет.
Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для положительна для
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для
Точки пересечения с осями координат: нет.
Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и
График функции изображен на рис. 6.6.
Рис. 6.6
Пример 1. Сравнить числа:
1) и 2) и
3) и
Решение. 1) Преобразуем числа к одному основанию:
Так как и функция монотонно возрастает, то следовательно,
2) Преобразуем числа:
Так как и функция монотонно убывает, то следовательно,
3) Преобразуем числа:
Так как и функция монотонно возрастает, то тогда и
Пример 2. Построить график функции:
1) 2)
Решение. 1) Строим график функции
График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 3 единицы влево по оси Ох и на 4 единицы вниз по оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит над осью Ох и на оси Ох. Ту часть графика, которая расположена ниже оси Ох, отображаем в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси Ох (рис. 6.7).
Рис. 6.7
2) Строим график функции (см. рис. 6.5).
График функции получаем из предыдущего путем смещения его на 2 единицы вниз вдоль оси Оу.
Для построения графика заданной функции оставляем ту часть графика функции которая лежит правее оси Оу и на оси Оу. Часть графика, которая лежит левее оси Оу, отбрасываем, а оставшуюся часть отображаем в левую полуплоскость симметрично оси Оу (рис. 6.8).
Рис. 6.8
Пример 3. Доказать тождество
Решение.
Задания