![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •5. Степени и корни
- •5.1. Корень n-й степени
- •8) Где в случае
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.2. Степень с произвольным действительным
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.3. Степенная функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.4. Иррациональные уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
I уровень
1.1.
Определите, принадлежит ли точка
графику функции
1)
2)
3)
4)
1.2. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:
1)
2)
3)
4)
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
5)
2.2. Постройте график функции:
1)
2)
3)
4)
III уровень
3.1. Найдите область определения функции:
1)
2)
3)
4)
3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:
1)
2)
3.3. Найдите множество значений функции:
1)
2)
5.4. Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).
Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.
Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).
Корни с четным
показателем
определены для f(x)
0. Возведение уравнения, содержащего
такие корни, в четную степень может
изменить ОДЗ уравнения и привести к
посторонним решениям. В таком случае
итоговым моментом в решении уравнения
является проверка полученных решений
подстановкой в заданное уравнение.
Проверка решения по ОДЗ такого уравнения
недостаточна.
ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.
Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.
Если имеется
уравнение вида
где с
0, то оно не имеет решений, так как корни
с четным показателем понимаем в
арифметическом смысле, т. е. как
неотрицательные.
Некоторые типы иррациональных уравнений
Пусть далее
– некоторые выражения с неизвестной
х,
I тип: уравнение вида
(5.1)
Возведение в
-ю
степень приводит к равносильному
уравнению
Уравнение
(5.2)
после возведения
в
-ю
степень сводится к равносильному
уравнению
Уравнение
(5.3)
после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию
(5.4)
Найденные корни уравнения (5.4) проверяют подстановкой в уравнение (5.3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (5.3).
Уравнение
(5.5)
после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию
(5.6)
Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.5).
II тип: уравнение вида
(5.7)
где
1-й способ. Необходимо возвести уравнение (5.7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.
2-й способ. Умножение уравнения (5.7) на сопряженное выражение
Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) 0 рассматривают систему
Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (5.3).
3-й способ. Замена переменных
и переход к системе уравнений относительно u, v.
Уравнение
(5.8)
где a, b R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению
(5.9)
Выражение в скобках
(в левой части уравнения (5.9)) заменяют
на
используя заданное уравнение. В итоге
заданное уравнение (5.8) приводится к
уравнению-следствию, которое снова
возводят в куб.
Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.8).
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид
(5.10)
где F
– некоторое
алгебраическое выражение относительно
то заменой
оно сводится к уравнению
(5.11)
После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (5.10).
IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения
(5.12)
где a > 0, b > 0, сводится к решению системы
V тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если
и
для всех
,
то на множестве X
уравнение f(x)
= g(x)
равносильно
системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x X, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x)
– возрастающая функция, то уравнение
равносильно уравнению
4. Если f(x)
– возрастающая (убывающая) функция, то
уравнение
равносильно уравнению
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:
Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз:
Решая последнее
квадратное уравнение, находим корни
которые теперь необходимо проверить.
Делаем проверку корней подстановкой в
исходное уравнение. Первый корень не
подходит.
Приходим к ответу:
Пример 2.
Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения в куб:
Воспользовавшись
исходным уравнением, заменим выражение
выражением
Получаем:
Решаем совокупность уравнений
В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, так как такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.
Приходим к ответу:
Пример 3.
Решить уравнение
Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.
Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:
Заменив
получаем квадратное уравнение
Решая его, находим
корни
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Первое уравнение решений не имеет, так как его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем:
т. е.
Его корни
С помощью проверки убеждаемся, что оба
корня подходят, т. е. приходим к ответу:
Пример 4. Решить
уравнение
Решение. 1-й способ. Перенесем второй корень вправо:
Возводим обе части в квадрат:
Еще раз возводим
в квадрат и получаем квадратное уравнение,
решая которое и получаем корни
Делаем проверку корней подстановкой в
исходное уравнение. Оба корня подходят.
2-й способ.
Введем замену
тогда
Таким образом получили более простое
уравнение
т. е.
Возведем его в квадрат:
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Возводим обе части уравнения в квадрат:
откуда
При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
3-й способ. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:
Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:
т. е.
Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение
Решая его, находим корни
Приходим к ответу:
Пример 5.
Решить уравнение
Решение.
Пусть
Тогда
и
по условию.
Получили систему
Решаем ее методом подстановки:
Второе уравнение решим отдельно
Получаем корни:
Возвращаемся к системе:
Получаем:
Переходим к заданным неизвестным:
Решая последнюю
совокупность, находим корни
и
С помощью проверки убеждаемся, что оба
корня подходят.
Получили ответ:
При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, так как проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
Решаем последнюю систему неравенств графически (рис. 5.10).
Рис. 5.10
Получили, что ОДЗ
состоит из единственной точки
Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:
Получили, что – решение.
Пример 7. Решить
уравнение
Решение.
Используем графический способ. Строим
графики функций
(рис. 5.11).
Рис. 5.11
Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.
Получили ответ: x = 7.
Задания