- •5. Степени и корни
- •5.1. Корень n-й степени
- •8) Где в случае
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.2. Степень с произвольным действительным
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.3. Степенная функция
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •5.4. Иррациональные уравнения
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
5. Степени и корни
5.1. Корень n-й степени
Для всякого числа a R определена степень с натуральным показателем an, n N.
Число b R называется корнем n-й степени, n N, n 2, из числа а, если обозначают
Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным выражением, а число n – показателем корня.
Если то определен для всех a R и принимает любые действительные значения.
Если то определен для всех a 0 (a R). В курсе элементарной математики рассматривают арифметическое значение корня, т. е. число
Свойства корней
Пусть a, b R, тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6) где a 0 в случае
7) где в случае
8) Где в случае
Пример 1. Вычислить
Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:
Тогда получим
2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через a, т. е.
Заметим, что
Возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Тогда
Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.
Пример 2. Упростить выражение
Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем:
2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.
Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись:
Заданное выражение приобретает вид
Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:
Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу
Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
1) 2) 3)
Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:
2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:
3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения:
Задания
I уровень
1.1. Вычислите значения корней:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11) 12)
13) 14) 15)
1.2. Сравните числа:
1) и 2) и 3) и
4) и 5) и 6) и
7) и 8) и 1; 9) и
10) и 11) 3 и 12) и
13) и 14) и
1.3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11)
1.4. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
II уровень
2.1. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
2.2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
2.3. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)