Асимптотическая скорость сходимости

Теорема.

Если , то .

Док–во.

При имеем .

Теорема.

Если , то .

Док–во.

Из док–ва теоремы о необходимом и достаточном условии сходимости Из эквивалентности норм

.

Т.к. , то .

, т.е. .

_{Теорема.}

Если , то метод Якоби сходится.

Док–во.

i–тая строка матрицы : . Из условия теоремы , т.е. выполняется достаточное условие сходимости.

_{Теорема.}

Если , то метод Якоби сходится.

Док–во.

j–ый столбец матрицы : . Из условия теоремы , т.е. выполняется необходимое условие сходимости.

_{Теорема.}

Если , то

(т.е. метод Якоби сходится)

.

_{Док–во.}

1. собственные значения матрицы – вещественные:

,

– вещественны, т.к. .

2.

2.1. :

т.к.

и ,

то ;

;

2.2. :

_{Теорема.}

Если , то

(т.е. метод Зейделя сходится) .

Док–во.

Необходимость:

Пусть , но , т.е.

( все вещественны,

, иначе ,

).

Зададим и оценим :

, метод не сходится, что противоречит .

Достаточность.

Докажем, что , т.е. метод сходится.

.

если , то :

1. .

2.

Из 1.–2. . Но, более того, т.к.

• ,

• (здесь , – орт),

то

, т.е. .